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Definición formal de límite
La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente que es lo que nos dicen en forma tan suscinta.
Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L o

si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que, para todo x, si 0 < |x- c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε
Miremos en principio las normas o valores absolutos de la anterior expresión. Sobre la recta real, un valor absoluto de un número es la diferencia entre este número (ya sea positivo o negativo) y el origen. -3 está a tres unidades de distancia de cero, por tanto |-3| = 3. De modo análogo, el valor absoluto de una resta corresponde a la distancia entre losdos números involucrados en ella. Démonos cuenta que ε y δ en la definición anterior nos delimitan la distancia tanto entre los valores de f(x) y L, como entre los de c y x.
Es decir, una vez escogida una distancia entre x y c menor que δ pero mayor que cero (pues c se acerca a x pero no lo alcanza), podemos garantizar que la distancia entre f(x) y L es menor a ε Independientemente del ε elegido.Límites laterales
Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor particular de x bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo decomportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(x) y que se define de la siguiente forma
E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.
http://enciclopedia.us.es/upload/parte_entera.png
Su curva es una sucesión de segmentoshorizontales a distintas alturas. Consideremos ahora un valor entero particular, por ejemplo 1. En la medida en que nos acercamos a 1 por la izquierda nos damos cuenta que los suscesivos valores de E(x) son iguales a cero, y en la medida en que nos acercamos a 1 por la derecha los valores son iguales a uno. La idea de acercarnos suscesivamente a un valor es la que introduce la noción de límitelateral. A continuación introduciremos las nociones formales de los límites laterales por izquierda y por derecha.
Límite por la derecha
El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ, entoces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

Límite por la izquierda
El límite por la izquierda de f(x) cuando xtiende a a por la derecha izquierda es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

TEOREMA Existe el limite si y solo si los dos limites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden
Nota:aunque también es valido si consideramos que le limite vale +∞ o -∞ en lugar de 1.

Teoremasfundamentales sobre límites
Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y k una constante. Se tiene entonces que:
* El límite de una constante es la constante:

*
* El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:

* El límite de una suma es igual a la suma de los límites:

* El límite de un producto es igual al producto de loslímites:

* El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.
, siempre y cuando
* El límite de la potencia de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:

* El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:

Teorema de Intercalación...
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