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Transformada de Fourier
Juan-Pablo C´ceres a CCRMA Stanford University

Agosto, 2007

Contenidos
Introducci´n o S´ ıntesis Aditiva An´lisis Espectral a Transformada Continua de Fourier DFT Teoremas de Fourier FFT Convoluci´n o

Introducci´n o

Toda se˜al n peri´dica, sin importar o cuan complicada parezca, puede ser reconstruida a partir de sinusoides cuyas frecuencias son m´ltiplosenteros de u una frecuencia fundamental, eligiendo las amplitudes y fases adecuadas.

Matem´tico franc´s Joseph Fourier a e (1768-1830)

S´ ıntesis Aditiva

Reglas de la S´ ıntesis Aditiva (o s´ ıntesis de Fourier):
◮ ◮

S´lo sinusoides pueden ser combinadas o Las frecuencias de todas las sinusoides deben estar arm´nicamente relacionas o

S´lo tenemos libertad para cada sinusoide en laelecci´n de: o o
◮ ◮ ◮

Frecuencia fundamental Amplitud Fase

Expansi´n de S´ o ıntesis Aditiva

Deep Note: La pieza de m´sica por computador m´s famosa del mundo u a (James ”Andy” Moorer) deep note.wav

Arm´nicos y Periodicidad o

Para una frecuencia fundamental f , cualquier m´ltiplo entero de f u es un arm´nico. o Una serie arm´nica puede expresarse entonce: o

f + 2f + 3f + 4f + 5f+ 6f + 7f + · · ·
Una funci´n (se˜al) f (t) es periodica son periodo τ si para o n cualquier t, f (t) = f (t + τ ), (−∞ < t < ∞)

Ejemplo: Onda Cuadrada

Ejemplos de S´ ıntesis Aditiva: Clarinete
Con las siguientes reglas se puede construir un sonido tipo clarinete:

◮ ◮

S´lo los armonicos impares estan presentes o La Amplitud de los arm´nicos decrece a medida que el o n´mero dearm´nico crece u o No hay diferencia de fase entre los armonicos (esto simplifica la s´ ıntesis) s(t) = 1 sin(nωt + 0) con n impar n n=1 1 1 sin(3ωt + 0) + sin(5ωt + 0) + · · · 3 5




s(t) = sin(ωt + 0) +

An´lisis Espectral a
Cualquier se˜al (waveform) per´dica puede ser descompuesta en n o sinusoides ◮ Estudio de timbres musicales ◮ Clasificaci´n de sonidos por contenido espectral o ◮ Res´ıntesis usando s´ ıntesis de Fourier ◮ Sintetizaci´n de sonidos hibridos (mezcla de sonidos o analizados, morphing) ◮ Creaci´n arbitraria de mezclas de frecuencias o El espectro (analizado) del clarinete debiera verse as´ ı:

Como detectamos (analizamos) las Frecuenias?

En el espectro anterior, aparecen claramente la energ´ de cada ıa sinusoide del clarinete. Como detectamos esto con an´lisis?a Preambulo: Multiplicaci´n de Se˜ales o n

Multiplicaci´n de Se˜ales o n

Detector de Frecuencias
Multiplicaci´n de se˜ales id´nticas genera una se˜al que es siempre o n e n positiva.


x(t): sinusoide como se˜al de prueba (se˜al que ser´ n n a analizada) y(t): se˜al de sondeo, sinusoide con frecuencia variable n c(t): el producto de las 2 se˜´les x(t)y(t) na

◮ ◮

c(t) ser´ mayorcuando x(t) e y(t) sean id´nticas. a e

Formalizaci´n del Detector o
Como se˜al de sondeo usamos un fasor: n e−j2πf t Este fasor tiene una s´la componente en frecuencia. o Primero, multipicamos la se˜´l de input con el fasor de sondeo: na x(t) · e−j2πf t Finalmente sumamos (integramos) el producto: x(t)e−j2πf t

Transformada Continua de Fourier
X(f ) = t: Tiempo f : Frecuencia en Hz x(t):Se˜al de prueba n e−j2πf t : Fasor de Sondeo (Kernel Function) X(f ): Espectro en funci´n de la frecuencia f o
∞ −∞ ◮ ◮ ◮ ◮ ◮

x(t)e−j2πf t dt Transformada de Fourier

x(t) ↔ X(f ), es decir para una funci´n x(t) existe un equivalente o X(f ). X(f ), el espectro, revela la fuerza (energ´ de varias componentes ıa) de frecuencia, ordenadas por frecuencia. La transformada de Fourier act´a como undetector de energia en u frecuencia-dependiente

Transformada Inversa de Fourier

A partir de la transformada, podemos recuperar la se˜al original n tomando la Transformada Inversa de Fourier. x(t) =
∞ −∞

X(f )ej2πf t df

Transformada Inversa de Fourier

Notar la simetr´ con respecto a la Transformada de Fourier. ıa

Tranformadas Discretas (DFT)
El equivalente en tiempo y...
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