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  • Publicado : 6 de marzo de 2010
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Indice
• índice
• Objetivo
• Importancia
• Teoría
• Aplicación
• Conclusión
• Bibliografía

Objetivo

Contribuir a que el estudiante desarrolle la capacidad de razonamiento matematico, utilizando las tecnicas y recursos que ofrece el algebra lineal para el apoyo al conocimiento de la ingenieria.

Importancia de las Transformaciones Lineales

El álgebra lineal es la rama delas matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.

Transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un subespacio vectorial, para transformarlo en un elemento de otro subespacio. En ocasiones trabajar con vectores es muysencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera granvariedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Teoria

Definición.
Sean A y B espacios vectoriales. La funcion T:A  B se llama transformacion lineal de A en B si las dos propiedades siguientes son verdaderas para todo a y d enA y para cualquier escalar c.

Suma en A Suma en B Multiplicacion en A Multiplicacion en B

T(a+d) = T(a)+T(d) T(ca) = cT(a)

Se dice que una transformacion lineal conserva operaciones porque se obiene el mismo resultado si las operaciones de suma y multiplicacion escalar se efectuan antes o despuesde que se aplique la transformacion lineal.
OBSERVACIONES SOBRE LA NOTACION
1.- Se escribe T:V  U para indica que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real U; esto es, T es una función como V como su dominio y un subconjunto de U como su imagen.
2.- Se escribe indistintamente Tv y T(v). Denota lo mismo que T de V. es análogo de la notación funcional f(x),que es f de x.
3.- Parte de las definiciones y teoremas cumplen con espacios vectoriales complejos.

Ejemplo: sea L:  definida como
L(at+b)=t(at+b)
Mostraremos que L es una transformación lineal
Solución; sean at+b y ct+d vectores en y sea k un escalar. EntoncesL =t
=t(at+b)+t(ct+d)=L(at+b)+L(ct+d)
Y
L =t = = L(at+b).

Teorema. Sea T una transformacion lineal de V en W, donde u y v estan en V. entonces, las propiedades siguientes son verdad.
1.- T(0)=0
2.- T(-v)=--T(v)
3.-T(u-v)=T(u)-T(v)
4.- si v= entonces
T(v)=T( )
=

NUCLEO E IMAGEN
Definicion: una transformacion lineal L:V  W es uno a uno si para todo , y en V, ≠ implica que L( )≠L( ) . una afirmacion equivalente es que L es uno a uno si para todo , en V, L( )=L( ) implica que =

Entonces esto quiere decir que L esuno a uno si L( ) y L( ) son distintos siempre que y sean distintos



L es uno a uno L no es uno a uno

Ejemplo
Sea L: definida como
L(x,y)=(x+y,x-y)
Para determinar si L es uno a uno, hacemos
=( , ) y =( , )...
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