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Apuntes de Lógica
Profesor: Haroldo Cornejo Olivari 1.1 INTRODUCCION

La matemática estudia las propiedades de ciertos objetos, tales como números, operaciones, conjuntos, etc. Es necesario por lo tanto contar con un lenguaje apropiado para expresar estas propiedades de manera precisa. Desarrollaremos aquí un lenguaje que cumpla estos requisitos, al cuál llamaremos lenguaje matemático. Aunquealgunas de estas propiedades son evidentes, la mayoría de ellas no lo son y necesitan de una cierta argumentación que permita establecer su validez. Es fundamental por lo tanto conocer las principales leyes de la lógica que regulan la corrección de estos argumentos. Desarrollaremos aquí los conceptos de verdad, equivalencia y consecuencia lógica y algunas de sus aplicaciones al razonamientomatemático. 1.2 LENGUAJE MATEMATICO

El lenguaje matemático está formado por una parte del lenguaje natural, al cuál se le agregan variables y símbolos lógicos que permiten una interpretación precisa de cada frase.

1.21

Proposiciones.

Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural sobre las cuales podamos afirmar que son verdaderas o falsas. Ejemplos de proposiciones son: "Doses par". "Tres es mayor que siete". "Tres más cuatro es nueve "Si dos es mayor que cinco entonces dos es par". "Dos no es par" En cambio las siguientes frases no son proposiciones: "¿Es dos número par?". "Dos más tres". "¡Súmale cinco!". Se acostumbra habitualmente usar las letras p, q, r, s..... etc. para designar proposiciones.

1

Una proposición es simple, si ninguna parte de ella es asu vez una proposición. Ejemplos de proposiciones simples: “Dos es un número par". "Tres es mayor que cuatro". "Tres más cinco es mayor que cuatro". Se usan letras minúsculas p, q, r, s,...etc., para denotar proposiciones simples. La propiedad fundamental de una proposición, es que ella puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. El valor de verdad de una proposición simple dependeexclusivamente si el enunciado de la proposición, es Verdadero o Falso. Por ejemplo, las proposiciones: “Dos es un número par". "Tres es mayor que cuatro". "Tres más cinco es mayor que cuatro". Es verdadero. Es Falso. Es Verdadero.

Algunos enunciados o proposiciones son compuestos, es decir, están formados de proposiciones simples y de conectivos que los unen. El valor de verdad de unaproposición compuesta depende completamente del valor de verdad de cada proposición simple y del modo como se les reúne o conecta para formar la proposición compuesta.

1.2.2 Conectivos Se mencionó que una proposición puede estar compuesta a su vez por una o varias proposiciones simples, conectadas por una palabra o frase que se llama conectivo. Los conectivos más usados son: (1) Negación. Es aquelconectivo que niega la proposición, y normalmente se utiliza anteponiendo “no”, o anteponiendo la frase es falso que.

Simbólicamente la negación se puede representar en lenguaje matemático, de tres formas diferentes: I.- Anteponiendo el símbolo “¬” .II.- Sobreponiéndole una barra “ ”.III.- Anteponiendo el símbolo “∼” .Por ejemplo “ ¬p” significa “no p”. Por ejemplo “ p ” significa “no p”. Por ejemplo“ ∼p” significa “no p”. 2

Consideremos la proposición "dos no es par". La proposición está compuesta por la proposición simple "dos es par" y por la palabra "no", que forma la negación. Si p es una proposición, ¬p denotará la proposición “no es verdad que p". Valores de verdad de la negación: p V F
¬p F V

(2)

Conjunción. Es aquel conectivo que une dos proposiciones, incluyéndolasobligatoriamente a ambas. Se utiliza “y” como conectivo de conjunción.

La conjunción "y" se abrevia o representa con el símbolo "∧" Consideremos la proposición "dos es par y tres es impar la cual está compuesta por las proposiciones simples "dos es par y "tres es impar", conectadas por la palabra "y", que constituye el conectivo conjunción. Si p y q son dos proposiciones, usaremos (p ∧ q) para...
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