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Deflexión en Vigas
• para poder predecir, la deflexión de una viga bajo carga. • para la solución de vigas estáticamente indeterminadas se necesita la deflexión de la viga y sus características giratorias.

Deflexión en Vigas

• Deflexión – hay muchos métodos diferentes para calcular las deflexiones en las vigas. 1. Doble integración 2. Método del área de momentos 3. Viga conjugada 4.Técnica de superposición usando las formulas estándar para vigas 5. El método de los pesos elásticos

Relación entre curvatura y momento
• La curva elástica de una viga es la forma que toma el eje neutro cuando se carga la viga.

La pendiente ( A y B)de una viga es la pendiente de la tangente a la elástica en un punto cualquiera.

Relación entre curvatura y momento
• La deflexión ( A y B)deuna viga es el movimiento (desviación) de un punto situado sobre la elástica con respecto a su posición original sin carga.

• Radio de curvatura, es el radio del arco (cada segmento de la elástica) • El centro de curvatura es la intersección de los radios.

• Existe una relación definida entre el radio de curvatura de la viga, el esfuerzo en las fibras extremas y el momento flexionante queproduce ese esfuerzo.

Relación entre el radio de curvatura, el esfuerzo y el momento flexionante de la viga

dx +

Fig.(a) muestra una pequeña sección de una viga sin carga de longitud dx. Fig. (b) muestra la misma sección después de que la viga se ha deformado por la acción de las cargas aplicadas.

• Las secciones planas antes de la deformación se conservan planas después de ladeformación. • El eje neutro (elástica) no esta sujeto a ningún esfuerzo y conserva la longitud original dx. • Las fibras inferiores, situadas a una distancia c a partir del eje neutro, aumentan su longitud en una cantidad .

Considerando la geometría de los sectores semejantes Onn y O B’D’, podemos escribir: dx dx + d = ----- = ------------ ……(a) +c Resolviendo, obtenemos dx ( + c) = (dx + ) dx + dx c= dx + dx c = c ----- = -----……(b) dx

Deformación unitaria, variación en longitud = --------------------------------- = ------longitud original dx = /E

Substituyendo para , ------- = ----………(c) dx E substituyendo esto en la ecuación (b),

c ----- = -----E

c ----- = -----E donde

……(d)

= esfuerzo en las fibras extremas, en lb/plg2 o Pa, E = modulo de elasticidad, en lb/plg2 o Pa,c = distancia entre el eje neutro y las fibras extremas, plg o m, = radio de curvatura, plg o m.

Sustituyendo la relación, = Mc / I en la ecuación (d), c Mc/I ----- = ----- = ---------E E 1 M ----- = ------EI ……(e)

que es la relación entre la curvatura de una viga y el momento flexionante.

Eliminando

de las ecuaciones (a) y (e), dx 1 d d = ------ ; ----- = ----dx 1 M ----- = ----EId M ------ = -----dx EI
M dx = ---------EI ……(f)

d

d

M dx = ---------EI

……(f)

La variación en la pendiente entre dos secciones transversales de una viga = área bajo el diagrama de momentos (M dx) comprendido entre esas secciones, divida entre EI.

El objeto del procedimiento de integración es expresar la ecuación para la elástica de la viga en términos de las cargas y de lascoordenadas x y y.

La elástica de una viga deformada por cargas

La curvatura de una línea, 1 d2y / dx2 ------ = ---------------------------{ 1 + (dy / dx )2} 3/2 donde = radio de curvatura x , y = coordenadas de un punto sobre la curva. 1 d2y 1 M ------- = --------- ; ------- = --------dx2 EI d2y M ------- = -------- ………(g) (calcular la pendiente y la dx2 EI deflexión de la elástica de laviga)

Relaciones útiles
• Deflexión = y • dy Pendiente = --------dx d ( dy ) d 2y M Momento = ------(-----) = -------- = -------dx ( dx ) dx2 EI d3y d ( d2y ) d ( M ) dM 1 V Cortante = ------- = --- ( ------) = ----( ------) = ------- ----- = -------dx3 dx ( dx2) dx ( EI ) dx EI EI dM = V dx, d4y d ( d3y ) d ( V ) dV 1 w Carga = ---------- = --- ( ------) = ---- (-----) = ---- ----- =...
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