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La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente puedenpertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.Se llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca elexponente.
Exponente entero[editar · editar fuente]
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando, siendo a un número cualquiera:
(1)\begin{array}{ll}
a^1 = & a \\
a^2 = & a \times a \\
\vdots & \vdots \\
a^n = & \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}},
\end{array}
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales ocomplejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación de potencias de igual base[editar · editar fuente]
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
[Mostrar] a^n \cdot a^m = a^{n+m}
Ejemplos:
9^3 \cdot 9^2= 9^{3+2}= 9^5
Potencia de una potencia[editar · editar fuente]
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
[Mostrar] {(a^m)}^n = a^{m \cdot n}
Debido a esto, la notación a^{b^c} se reserva para significar a^{(b^c)} ya que {(a^b)}^c se puede escribir sencillamentecomo a^{bc}\,.
Potencia de un producto[editar · editar fuente]
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
[Mostrar] (a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
[Mostrar] (-a)^n =\;\;\;\;\; a^n si n es par.
(-a)^n = -( a^n) si n esimpar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que c=\frac{1}{a}, entonces este se denota por a^{-1}, y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:
(2)\begin{array}{l}a^{-1} = \frac{1}{a} \\
a^{-n} = \frac{1}{a^n}\end{array}
Observación
a^{-n} = ( a^{-1} )^n = \underbrace{ \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}_n = \frac{1}{\underbrace{a \times\cdots \times a}_n} = \frac{1}{a^n}.
División de potencias de igual base[editar · editar fuente]
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor ,1 esto es:
[Mostrar] \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}
Ejemplo:
\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2
Potencia de exponente 0[editar ·editar fuente]
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:2 3
1 = \frac {a^n} {a^n} = a^{n-n} =
a^0\,
El caso particular de 0^0\,, en principio, no está definido [cita requerida] (ver cero).
Potencia de un cociente[editar · editar fuente]
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.[Mostrar] \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo a^{-1}, por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:
0^1=0
0^n= \underbrace{0 \times \cdots \times 0}_n = 0.
Exponente racional[editar · editar fuente]
Artículo principal: Radicación.
La...