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UNIVERSIDAD DEL GOLFO DE MEXICO.





ALUMNO: José Roberto García Villa.



PROFESOR: Alejandro Villavicencio Ortiz.



MATERIA: Calculo diferencial e integral.



TRABAJO: Investigación de derivadas.



SEGUNDO SEMESTRE.



SALINA CRUZ OAXACA MAYO 2012.



INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LSA DERIVADA.

Sea la curva AB de la ecuación y = f(x)
Y B S Siendo:
Q PSuna secante que corta a la curva en P y Q
y T el ángulo que forma la secante con el eje X
PT una tangente en el punto P
A P y = f(x) el ángulo que forma la tangente con el eje X
R P(x,y)
x Q(x + x, y + y) se forma el triángulo en R.
0 M N X
y = f(x) = PM (1)
y + y = f(x +x) = QN (2)
Restando (1) de (2) queda:
y = f(x +x) - f(x) = QN - PM = QR
Dividiendo entre x se tiene: Si tomamos ellímite cuando x!0
y f(x + x) - f(x) QR y
= = ; Lim = Lim tg = tg
x x PR x!0 x x!0


La razón de los incrementos es el ángulo que forma la secante con el eje x
QR y y
Pero = tg RPQ ! = tg ! = m
PR x x dy
! = tg
dx
” Para un punto P dado en la curva, la derivada es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto dado P”


REGLA DE LOS 4 PASOS PARA RESOLVER UNA DERIVADA.Para calcular la derivada de y=f(x) en x=a, obteníamos el límite
[pic]
Puesto que ahora nos interesa obtener la expresión de la derivada para un punto cualquiera x, habrá que calcular
[pic]
1.- Función incrementada:
f(x+h)
2.- Incremento de la función (variación):
f(x+h)-f(x)
3.- Cociente incremental (TVM):
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4.- Límite del cociente incremental:
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Sea la función f(x)=50x-5x2(posición de la bola en función del tiempo x tratada anteriormente).
Calculemos mediante la Regla de los cuatro pasos, la función derivada:
1.- Función incrementada:
f(x+h) = 50(x+h)-5(x+h)2 = 50(x+h)-5(x2+2xh+h2) = 50x+50h-5x2-10xh-5h2
2.- Incremento de la función:
f(x+h-f(x) = (50x+50h-5x2-10xh-5h2)-( 50x-5x2) = 50h-10xh-5h2
3.- Cociente incremental (TVM):
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4.- Límite del cocienteincremental:
[pic]
f ' (x) = 50 - 10x
Comprobar este resultado con el que se daba en el estudio de la velocidad de la bola.
Aplicando la regla de los cuatro pasos obtendríamos:
|f(x) |f '(x) |
|k |0 |
|x |1 |
|x2 |2x |
|x3 |3x2 |
|x4|4x3 |
|..... |..... |
|xn |nxn-1 |


[pic]
|Es importante recordar este resultado pues ayudará a calcular funciones derivadas de polinomios sin tener que recurrir a|
|la regla de los cuatro pasos. |
|Para ello esnecesario conocer la propiedad de linealidad de las funciones derivadas que masamos a explicar |
|seguidamente. |





Derivada de una constante
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Derivada de x
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Derivada de función afín
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Derivada de una potencia
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Derivada de una raíz cuadrada
[pic]Derivada de una raíz
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Derivada de suma
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Derivada de de una constante por una función
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Derivada de un producto
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Derivada de constante partida por una función
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DERIVACION POR FORMULAS.
Derivada de un cociente:
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Derivada de la función exponencial:
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Derivada de la función exponencial de base e:
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Derivada de un logaritmo:
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Derivada de unlogaritmo neperiano:
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Derivada del seno:
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Derivada del coseno:
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Derivada de la tangente:
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Derivada de la cotangente:
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Derivada de la secante:
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Derivada de la cosecante:
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Derivada del arcoseno:
[pic]
Derivada del arcocoseno:
[pic]
Derivada del arcotangente:
[pic]
Derivada del arcocotangente:
[pic]
Derivada del arcosecante:
[pic]...
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