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Matemática
UNIDAD 3. Fracciones algebraicas. Sistemas de Ecuaciones Lineales

2° Medio

GUÍA N° 1
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una expresión racional o fracción algebraica es un cuociente de polinomios en una o más variables
a- b a+b

Ejemplos:

,

(3x -1) 2 ( x - 2)

2

, el número a se denomina numerador y b b denominador. En una fracción algebraica mantendremos los mismos nombres.Así, en el primero de los ejemplos anteriores a – b es el numerador y a + b es el denominador a- b de la fracción algebraica . a+b Recordemos que en una fracción numérica

a

Al trabajar con expresiones racionales, muchas veces nos interesa evaluarlas, es decir reemplazar las variables por números. Ejemplo: Evaluar

3x2 +2x - 5 5x - 6

en x = -2.

Solución:

3(-2)2 +2(-2)- 5 5(-2)- 6=

12 - 4 - 5 -10 - 6

=−

3 16

.
3 16

Diremos que

3x2 +2x - 5 5x - 6

está definida para x = -2 y su valor es −

.

Las expresiones racionales aparecen muchas veces al resolver problemas: Ejemplo: Si la suma de dos números es 60 y la razón entre ellos es 3:7, ¿cuáles son los números? Solución: Llamemos x e y a los números pedidos. Como la suma de ellos es 60 podemosescribir: Despejemos una de las variables: La razón entre ellos es 3:7 se escribe: Reemplazamos la variable y

x + y = 60 y = 60 - x x 3

y
x

=

7
3 7
1

60 - x

=

FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Por la propiedad fundamental de las proporciones:

7x = 3(60-x) 7x = 180- 3x 10x = 180 x = 18 Reemplazando el valor de x obtenemos el valor de y: y = 60-18 = 42. Por lo tanto los númerospedidos son 18 y 42.

2
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1. Evalúa las expresiones racionales 1.1

para los valores de x indicados: ;
x = -1

4x3 - 5x x -5

; x=3

1.2

6x2 - x 2- x

1.3

5x2 x +1

;

x=

2 3

2. a) Evalúa la expresión racional

x -1 para x =-3, x = -1; x = 0; x = 1; x = 2 y x = 3. x2 - 9 b) ¿Qué puedes decir de los resultados obtenidos?¿Una expresión racional puede evaluarse en cualquier valor? ¿En qué te debes fijar al evaluar una fracción algebraica para que ella esté definida?

3. Encuentra para qué valores de la variable no está definida cada fracción algebraica: 3.1

x2 +3x x-6

3.2

5+3x x2 - 4

3.3

x2 +3

( x +3 )( x - 5 )

3.4

x2 + x x - x - 42
2

4. Construye un expresión racional que no estédefinida en x= 2 y x = -1. Compara con tus compañeros. ¿Qué similitudes y diferencias encuentran en las expresiones construidas?

5. Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es 180º. Encuentra las medidas de dos ángulos suplementarios, si están en la razón de 5 a 7.

3
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

GUÍA N° 2
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
A continuación veremos algunaspropiedades de las fracciones algebraicas y nos daremos cuenta de que estas propiedades se parecen a las de los números racionales. Una fracción se puede simplificar y escribir en su mínima expresión. Para ello debemos dividir el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que el factor común sea el 1 o dividir directamente por el máximo común divisor. Por ejemplo: 105:5 21: 7 3:1 3140:5 28 : 7 4:1 4 O calculamos el máximo común divisor entre 105 y 140 que es 35 y nos queda: 105:35 3 140:35

=

=

=

=

4
105 140

Observemos que su valor decimal sigue siendo el mismo: Ejemplo: Simplificar la fracción algebraica: x -1 x2 -1

= 0,75 ;

3 = 0,75 4

Solución: Factorizando el denominador obtenemos
x -1 x 2 -1

=

x -1

( x -1)( x +1)
2 -1 2 -1
2

=1 x +1

Evaluemos la expresión original en x = 2 x -1 x -1
2

=

=

1 3

Evaluemos ahora en x = 2 la expresión simplificada 1 x +1

=

1 2+1

=

1 3

¿Qué pasará al evaluar en x = 1? Efectivamente la expresión original no está definida para x = 1 en cambio si evaluamos la expresión simplificada obtendremos: 1 x +1

=

1 1+1

=

1

2

En general cuando en una...
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