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GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS:
* . Si A _ B, entonces
(a) A _ A [ C _ B [ C,
(b) A \ C _ B \ C _ B.
* . Si x 2 A [ B y x 62 A, entonces x 2 B (es decir, (A [ B) \ Ac _ B).
* . A _ B = ; , A = ; _ B = ;.
Definition A.1.2. A la cuaterna (P(X); [; \; c) se le denomina _algebra de
Boole de X.
Propiedades A.1.3 ( _Algebra de Boole). Sean A;B;C _ X conjuntos, entonces
1.Propiedad conmutativa de la unión: A [ B = B [ A:
2. Propiedad conmutativa de la intersección: A \ B = B \ A:
3. Propiedad asociativa de la unión: A [ (B [ C) = (A [ B) [ C:
4. Propiedad asociativa de la intersección: A\(B \C) = (A\B)\C:
5. Propiedad cancelativa de la unión respecto de la intersección:
A [ (B \ A) = A:
6. Propiedad cancelativa de la intersección respecto de la unión:
A \ (B [ A)= A:
7. Propiedades del complementario:
(a) (Ac)c = A;
(b) A \ Ac = ;;
(c) A
;[
Ac = X;
(d) A _ B , Bc _ Ac (por tanto A = B , Ac = Bc).
8. Leyes de Morgan:
(a) (A [ B)c = Ac \ Bc;
(b) (A \ B)c = Ac [ Bc:
9. Propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión:
A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C):
10. Propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección:
A \ (B [ C) =(A \ B) [ (A \ C):
Demostración.
1. x 2 A [ B , x 2 A _ x 2 B , x 2 B _ x 2 A , x 2 B [ A:
2. x 2 A \ B , x 2 A ^ x 2 B , x 2 B ^ x 2 A , x 2 B \ A:
3. x 2 A [ (B [ C) , x 2 A _ (x 2 B _ x 2 C) , (x 2 A _ x 2 B) _ x 2
C , x 2 (A [ B) [ C:
4. x 2 A \ (B \ C) , x 2 A ^ (x 2 B ^ x 2 C) , (x 2 A ^ x 2 B) ^ x 2
C , x 2 (A \ B) \ C:

SUBCONJUNTOS DE LOS NÚMEROS REALES:
El conjunto de losnúmeros reales tiene un determinado número de subconjuntos con propiedades específicas y cuyo estudio es de gran importancia para la Matemática: el conjunto de los números naturales; el conjunto de los números enteros; el conjunto de los números racionales, y el conjunto de los números irracionales.

El conjunto de los números naturales
Se denota ∠, y se expresa así:
∠ = {1, 2, 3, …}.
Laadición y la multiplicación conservan en ∠ algunas de las propiedades de campo, mas no todas:
• ∠ es cerrado bajo la adición y la multiplicación.
• ∠ no contiene el módulo para la adición (el cero), aunque si el de la multiplicación (el uno).
• ∠ no conserva las propiedades invertidas: 2, por ejemplo no tiene en ∠ inverso aditivo, ni inverso multiplicativo.
• La ecuación x + a = b no siempretiene solución en ∠: x + 5 = 8 tiene como solución el natural 3; pero x + 8 = 5 carece de solución en ∠.
• ∠ tiene la propiedad del buen orden: Cada subconjunto no vacío de ∠ tiene un elemento mínimo.

El conjunto de los enteros negativos
Se denota 9–, y está formado por los inversos aditivos de los números naturales.
9– = {x ∈ 3: – x ∈ ∠}
9– = {…, – 3, – 2, – 1}
El conjunto de losnúmeros enteros
Se denota 9 y está formado por el cero (0), los naturales y los enteros negativos.
9 = ∠ ∪ {0} ∪ 9–
9 = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Algunas características de 9
• 9 es cerrado bajo la adición y la multiplicación.
• 9 contiene los módulos de la adición (0) y la multiplicación (1).
• 9 conserva la propiedad invertida de la adición, mas no de la multiplicación.
•La ecuación x + a = b siempre tiene solución en 9
• La ecuación ax = b (con a ≠0) no siempre tiene solución en 9; ejemplo: 2x = – 8 tiene solución en 9; pero 2x = 17 no la tiene.
• 9 no posee la propiedad del buen orden.

PROPIEDADES DE CAMPO DE NÚMEROS REALES:
Las propiedades de campo son el resultado de muchos años de trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característicaalgebraica de los números. En general el álgebra estudia estructuras básicas como grupos, anillos, dominios integrales, espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación de acuerdo a las propiedades que satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructura más completa, que es precisamente la estructura de los números reales.
La siguiente es una lista con seis propiedades...