Tareas

RAZON DE CAMBIO
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo
• El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
• La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
• El volumen deun globo mientras se infla
• La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente
PROBLEMAS Y EJERCICIOS .
(Tema: Razón de cambio)
1) Lafunción de la demanda esta dada por P= , donde x esta dada en unidades y el precio p esta dado en dólares .además esta empresa tiene un costo total de al producir y vender x unidades .si actualmente se esta produciendo 25 unidades y se desea aumentar la producción en 4% .¿en que porcentaje variara aproximadamente la utilidad .
Solución.
-

Luego :




¿En que porcentaje variaraaproximadamente la utilidad? Hallando tenemos:






Encontrar la razón de cambio del costo con respecto a la cantidad cuando p =20



Encontrar la razón de cambio de la utilidad con respecto a la cantidad cuando p =20


c) Encontrar la utilidad marginal cuando x=25.interpretar su resultado

Interpretación: la unidad 26 genera ganancia de 5.11 dólares aprox.d) Encontrar la variación porcentual aproximada del costo cuando x=25 aumenta en
Solución


2) La ecuación define implícitamente a la función y=f(x),hallar y” en el punto (1,4)
Solución

Derivando implícitamente tenemos:

Despejando y’ tenemos:
Y’= si: x=1 y=4, entonces reemplazando estos datos tenemos:
Y’=-3/2Luego hallamos y”:

Se sabe que: x=1
Y=4
Y’=-3/2 luego reemplazando tenemos:
=2.94

3) la ecuación define implícitamente a la función y=f(x)
Solución
Derivando implícitamente tenemos:

Pero A (2,1) luego reemplazando tenemos:

2y’=2
Y’=1
a) Hallando la ecuación de la recta tangente al graficode f en el punto A(2,1)
Y-1=Y’(X-2)
Y-1=1(X-2)
Y-1=X-2
Y=X-1
b) Hallando y” ,en el punto A(2,1)


, Derivando tenemos:
Y” + =1 reemplazando el valor de y, tenemos:
Y” + =1
Y”+y”-1=1
Y”=1

4) Un fabricante ha determinado que mempleados producirán un total de x unidades por día, donde: x=m(50-m)
Si la función de demanda esta dada por la siguiente ecuación: P=-0.01x+9

a) Encuentre el ingreso marginal cuando x=400 unidades.
b) Encuentre la razón de cambio del ingreso con respecto al numero de empleados, cuando m=10.

Solución
Datos del problema
X: unidades .día
m :Nº de empleados
Si : x=m(50-m)X=50m-m2
P=-0.01x+9
a) Ingreso.
I= (-0.01X+9) (X)
I=-0.01X2+9X
Derivando para hallar el ingreso marginal, cuando x=400.
I’(X)=0.02X+9
I’(400)=0.02(400)+9
I’(400)=1


b) m=10 ,reemplazando tenemos:
x=m (50-m)
x=10(50-10)
x=400
Luego la razón de cambio del ingreso con respecto al número de empleados:













LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIOPuede interpretarse el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es esta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada por . De modo semejante a menudo nos interesamos en una...