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INTRODUCCION: LOS NUMEROS REALES.
En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, aquellos que no se puedenexpresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Números reales, son aquellos que poseen una expresión decimal.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES.Propiedad de tricotomía
En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia parala Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisase puede decir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones
 ;  ;
Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.[]
Nótese que una consecuenciainmediata de esta ley, es que si , entonces es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que .
Por ejemplo
Si y, entonces
Propiedad transitiva
* Si a < b y b < c,entonces a < c.
Ejemplo
La relación binaria "menor que" en los enteros es transitiva:
Si y entonces.
Así, puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2<7.

Propiedad dedensidad
* Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro
número racional tal que .
Para ello, si    , con  b y d positivos, basta con tomar

Por ejemplo, ahora entre3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 <...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.
por eso se dice que el conjunto de los racionales es unconjunto denso
Propiedad o axioma del supremo
* Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en .
Ejemplo

La parte entera del real 3, 5 es: [3, 5] = 3.
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