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La historia de la geometría analítica: Fermat
En el documento El surgimiento de la geometría analítica1 comentamos que en su forma usual, la geometría analítica se debe a los antecesores (Menaechmus y Apolonio de Perga, por ejemplo. Este último utiliza métodos notablemente semejantes a los de la geometría analítica en su tratado de Cónicas) y a los contemporáneos de Descartes, muy notablementeal trabajo de Pierre de Fermat. Por supuesto que entre ambos extremos hay mucho trabajo y muchos contribuyentes, desde el lado de la ciencia y las matemáticas. Para una idea de la cronología de los trabajos citados, consultar la línea del tiempo que aparece en A Time Line of Mathematicians2, según el periodo requerido. Por el lado de los árabes, Youschkevitch1 cita a AsSiۙ conocían la construcciónde la elipse con el método qu “ j ”. Este método consiste en utilizar una cuerda atada en cada extremo a un punto fijo distinto; ambos puntos representan los focos de la elipse; la longitud libre de la cuerda es igual al diámetro mayor de la elipse. Luego, con un lápiz perpendicular a la hoja de papel se tensa la cuerda y se traza de esta manera la elipse. Itard3, por su parte, refiere a la maneraen la que Fermat, heredero de Viète en lo que al álgebra concierne, inicia hacia 1629 una reconstrucción de los enunciados dados por Apolonio en los Lugares Planos. Esta recopilación de los enunciados de Apolonio se presenta en la Colección Matemática de Pappus, hecha por Commandino4 en 1589, la cual constituye la primera traducción al latín de los trabajos del geómetra griego. Estos trabajosrecolectan el conocimiento matemático hasta el tiempo de Pappus5 (290 – 350). En el Libro VII de esta Colección, Pappus trata sobre a) Los lemas del libro Sectione Determinata, de Apolonio. b) Lemas de los Porismos, de Euclides c) Un lema sobre Lugares Planos de Euclides (a partir del trabajo de Apolonio sobre las Cónicas) el cual establece que el lugar geométrico de un punto tal que su distancia aun punto dado mantiene una razón constante respecto a su distancia de una recta dada es una cónica; y a continuación da las pruebas de que esa cónica es una parábola, una elipse o una hipérbola, según que la razón constante sea igual, menor o mayor que la unidad (estas pruebas no aparecen en el trabajo de Apolonio).

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Parra, Blanca. El surgimiento de la geometría analítica. UIA Tijuana.Octubre 2009. A Time Line of Mathematicians. School of Mathematics and Statistics. University of St. Andrews, Scotland http://wwwhistory.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Timelines/index.html Consultada el 20 de octubre de 2009. 3 Itard, Jean. Essais d’Histoire des Mathématiques. Librairie Albert Blanchard. Paris, 1984. 4 J J O'Connor and E F Robertson. Frederico Commandino. School of Mathematics andStatistics. University of St. Andrews, Scotland. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Commandino.html Consultada el 20 de octubre 2009. 5 J J O'Connor and E F Robertson. Pappus of Alexandria.. School of Mathematics and Statistics. University of St. Andrews, Scotland. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pappus.html. Consultada el 20 de octubre de 2009.

En el Libro I,Fermat trata sobre los lugares geométricos que solamente comprenden rectas y círculos. Se trata de las transformaciones del plano en el plano (traslaciones, rotaciones, reflexiones). En el Libro II, Fermat estudia los lugares geométricos de los puntos para los cuales la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos es constante; o para los cuales la razón de las distancias a losdos puntos fijos es constante, etc. Itard6 comenta uno de los pasajes de estos trabajos de Fermat, que retoma varias veces de 1629 hasta 1636 ñ “La question la plus difficile et la plus belle” (p F ) í descubierta en ese periodo. Es “question” ép L : Sea un número cualquiera de rectas dadas como referencia, a las cuales se trazan rectas desde un punto dado formando ángulos dados. Si el producto...