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ALGEBRA DE BOOLE
Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se ha definido:
* Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.

Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.
* La operación binaria interna,que llamaremos suma:

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.
* La operación binaria interna, que llamaremos producto:

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, leasigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.
TEOREMAS Y POSTULADOS
Postulado 1: Definición | En un sistemaalgebraico definido en un conjunto B, que contiene 2 o más elementos donde pueden darse solo 2 operaciones, la suma u operación "OR" y la multiplicación o multiplicación "AND" | |
Postulado 2: Identidad (existencia de neutros) | En B, el elemento neutro de la suma determinada "0" y en la multiplicación "!" donde X en B: a)n+0=X------------ b)X1=X | |
Postulado 3: Conmutatividad | Para cada X,Y,Zen B: a)X+Y=Y+X-----b)XY=YX | |
Postulado 4: Asociatividad | Para cada X,Y,Z en B: a)X+(Y+Z)=(X+Y)+Z---------b)X(YZ)=(XY)Z | |
Postulado 5: Distributivita | Para cada X,Y,Z en B: a)X+(YZ)=(X+Y)(X+Z)------------b)X(Y+Z)=(XY)+(XZ) | |
Postulado 6: Existencia de complemento | Para cada X en B existe un elemento único denotado por X' complemento tal que: a)X+X'= 1-------b)XX'=0 | |Teorema !: Multiplicación por cero (identidad) | Es el factor neutro: Suma: a+1=!--------Producto: a0=0 | |
Teorema 2: Absorción | En la suma se identifica primero de forma aislada y luego multiplicanda a otra expresión. Suma: A+(AB)=A----------Producto: A(A+B)=A | |
Teorema 3: Cancelación I | Es cuando se encuentra una expresión sumada o multiplicada con su complemento:Suma:A+A'B=A+B-------Producto: A(A'+B)=AB | |
Teorema 4: Cancelación II | Se identifica en 2 términos que comparten un factor común y otro que no es común, uno de ellos es el complemento de la otra: Suma:AB+A'B=B---------Producto:(A+B)(A'+B)=B | |
Teorema 5: Impotencia | Si se suma o multiplica el término n número de veces, dará por resultado el mismo. Suma: A+A+A=A---------Producto:(A)(A)(A)=A | |
Teorema 6:Consenso | Se encuentran 2 términos que contengan una expresión en uno afirmada y en otro negada, anotar los términos con que se multiplica uno y otro, al final se busca otro elemento o termino que sea la multiplicación de estos 2 últimos, este último se multiplica. Suma: AB+A'C+BC=AB+A'C---------------Producto: (A+B)(A'+C)(B+C)=(A+B)(A'+C) | |
Teorema 7: De Morgan | Si hay suma complementada sepuede hacer el producto de cada parte con su complemento. Suma: |A+B|=A'B'---------------Producto: |AB|=A'+B' | |
Teorema 8: Involución | El complemento de un complemento es el termino sin complementos.-----||A=A | |
Teorema 9: Complemento de neutros | El complemento de la nada es el todo y el del todo es la nada.0'=1----1'=0 | |
OPTIMIZACION DE EXPRESIONES BOOLEANA
Las expresionesbooleanas se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero o falso, y el resultado de su evaluación es un valor de verdad. Los operandos de una expresión booleana pueden ser cualquiera de los siguientes:
* Expresiones relacionales: que comparan dos valores y determinan si existe o no una cierta relación entre ellos (ver más adelante), tal como mfn<10;
* Funciones...