Taylor

Series de Taylor para funciones de variable compleja
Marc Farrés Pijuan

2010-11

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Series de Taylor

1.1 Denición
Tal y como sabemos para el ámbito de los reales, si dada una función f podemos derivarla tantas veces como
queramos en un determinado entorno (x0 − ∆, x0 + ∆) centrado en x0 entonces podremos expresar el valor de la
función para cualquier punto de ese entornomediante una serie de Taylor:
∞

f(x) =

f (n) (x0 )
(x − x0 )n ;
n!
n=0

x ∈ (x0 − ∆, x0 + ∆)

(1)

Siendo f (n) (x0 ) la derivada n-ésima de la función en el punto x0 , y tomando el convenio de que f (0) (x0 ) = f (x0 ).
La enorme utilidad de esta expresión radica en que nos permite conocer la función en un punto x cualquiera dentro
del entorno a partir de conocer solamente a lafunción en uno de sus puntos x0 . Evidentemente cuantos mas términos de la serie cojamos mas nos acercaremos al valor que realmente tiene f(x) , pero el echo de que a medida que
cojamos mas términos de la sèrie estos se vayan haciendo cada vez mas pequeños nos permite en muchas ocasiones
obtener aproximaciones sucientes para nuestros propósitos tomando solo los términos hasta n = 1 o n = 2.Seria pues muy interesante pues poder ampliar el rango de acción de esa herramienta hacia el cuerpo de los
complejos, y de echo disponemos ya de algunos teoremas sobre funciones complejas que nos permiten hacerlo. Esta
extensión deberá cumplir (como todas las extensiones de los reales a los complejos) que al limitar nuestra función
compleja para que trabaje solamente en los reales (recordemos quelos reales son un subconjunto de los complejos)
recuperemos el resultado que ya conociamos para estos.

Teorema 1 : Teorema de Taylor

Sea

f una función analítica en un disco |z − z0 | < R0 centrado en z0 y de radio R0 . Entonces f (z ) admite la

representación en serie de potencias
∞

an (z − z0 )n ;

f (z ) =

(|z − z0 | < R0 )

n=0

donde ...

an =

f (n) (z0 )
;
n!2

n = 0, 1, 2, ...

Así pues hemos trasladado tal cual el resultado que ya conociamos para funciones reales, y para hacerlo solo hemos
tenido que cambiar el "intérvalo" en el que f era diferenciable por su equivalente complejo: el "disco" en el que f
sea analítica.
Si os sentis incómodos aceptando esta traslación directa podeis consultar la demostración completa de que efectivamenteesta serie también convergirá hacia el valor de la función en los complejos tal y como lo hacia cuando nos
limitábamos a los reales en este link:
Demostración.

Son de especial interés aquellas series de Taylor que nos expresan una función a partir de su valor en el orígen, ya
que la expresión para tales series se simplica bastante
∞

f (z ) =

Estas son las conocidas como

f (n) (0) nz;
n!
n=0

(|z | < R0 )

(2)

. Además en muchas ocasiones nos encontraremos con que

series de Maclaurin

nuestra función será entera(analítica en todo el plano complejo), en cuyo caso ya no tendremos que preocuparnos
de que el punto z en el que queremos aproximar a nuestra función esté o no dentro de un disco en cuyo interior f
sea analítica (ya que este disco será arbitrariamentegrande).

Veamos ahora un teorema que quizás se nos presente de forma algo prematura, aunque justicada debido a la
gran utilidad que le daremos.

Teorema 2 : Unicidad del desarrollo en series

Si tenemos una serie
∞

an (z − z0 )n
n=0

que nos converge a
centrada en

f (z ) para todo punto z que se encuentra dentro de una determinada circunferencia de radio R0

z0 (|z − z0 |
Demostración.

Aunque tras una primera lectura nos deje algo confusos acerca de lo que nos dice, este teorema nos asegura
que si dada una función cualquiera en los complejos podemos expresarla como una suma de términos an (z − z0 )n

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(con an constantes complejas) esta suma que habremos encontrado será la misma que habriamos...

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