TCNICAS DE CONTEO

Técnicas de Conteo

MÉTODOS DE ENUMERACIÓN Y CONTEO.
Principio de multiplicación. Supongamos que un procedimiento designado
como 1, puede hacerse de n 1 maneras. Supongamos que un segundo
procedimiento, designado como 2, se puede hacer de n 2 maneras. También
supongamos que cada una de las maneras de efectuar 1 puede ser seguida
por cualquiera de las maneras de efectuar 2. Entonces elprocedimiento que
consta de 1 seguido por 2 se puede hacer de n 1 ⋅ n 2 maneras.
Obviamente este principio puede extenderse a cualquier número de
procedimientos. Si hay k procedimientos y el i -ésimo procedimiento se
puede hacer de n i maneras, i = 1,2,..., k , entonces el procedimiento que
consiste en 1, seguido por 2,..., seguido por el procedimiento k puede
hacerse de n1 ⋅ n 2 ⋅ ... ⋅ n k .
Ejemplo: Unartículo manufacturado debe pasar por tres controles. En cada
uno de ellos se inspecciona una característica particular del artículo y se le
marca de conformidad. En el primer control hay tres mediciones posibles,
mientras que en cada uno de los dos últimos controles hay cuatro
mediciones posibles. Por lo tanto, hay 3 ⋅ 4 ⋅ 4 = 48 maneras de marcar el
artículo.
Principio de adición. Supongamosque un procedimiento, designado como
1, se puede hacerse de n 1 maneras. Supongamos que un segundo
procedimiento, designado como 2, se puede hacer de n 2 maneras.
Supongamos además que no es posible que ambos, 1 y 2, se hagan juntos.
Entonces el número de maneras como se puede hacer 1 o 2 es n1 + n 2 .
También este principio puede generalizarse como sigue: si hay k
procedimientos, y el i -ésimoprocedimiento se puede hacer en n i maneras,
i = 1,2,..., k , entonces el número de maneras como podemos hacer el
procedimiento 1, o el procedimiento 2 o ... o el procedimiento k está dado
por n1 + n 2 + .... + n k , suponiendo que los procedimientos no se pueden
realizar en forma conjunta.
Ejemplo: Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre
transportarnos por autobús o por tren. Sihay tres rutas para el autobús y
dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el
viaje.

Profesor: Patricio Videla Jiménez.

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Variaciones, Combinaciones y Permutaciones.
Variaciones de m elementos tomados de n en n .
Se llaman variaciones de m elementos tomados de n en n , a los diferentes
grupos que pueden formarse con los m elementos dados,tomados de n en
n , de modo que cada dos grupos difieran entre si, ya por la naturaleza de
algún elemento, ya por el orden de sucesión de los mismos. Se representa
por V (m ,n ) .
Las variaciones de m elementos tomados de n en n serán igual al número
de muestras diferentes de tamaño n seleccionadas mediante un muestreo
sin reemplazo de una población de tamaño m , ya que dos grupos se
diferencian entresí, si existen dos elementos diferentes y por el orden de
sucesión de los mismos (objetos ordenados). El muestreo que se considera es
sin reemplazo, pues las variaciones en las que no se especifique nada se
entenderán que son sin repetición. Así:

V (m ,n ) = m (m − 1)(m − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (m − n + 1) =

m!
(m − n )!

Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n .

Se llaman variacionescon repetición de m elementos tomados de n en n , a
los diferentes grupos que pueden formarse con los m elementos dados,
tomados de n en n , en los que eventualmente pueden aparecer elementos
repetidos y con la condición de que dos grupos sean distintos entre sí, si
tienen distintos elementos, o están situados en distintos lugares. Se
representa por V (1m ,n ) .
Como vemos, también aquí se tieneen cuenta el orden de los elementos de
cada grupo y de hecho en lo único en que se diferencian de las variaciones
antes definidas es que eventualmente algún elemento puede aparecer
repetido en un mismo grupo. Es decir, que el muestreo que hacemos es con
reemplazo. Así:

V (1m ,n ) = m ⋅ m ⋅ ⋅ ⋅ m = m n
n veces

Profesor: Patricio Videla Jiménez.

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Permutaciones de m elementos...