Tecnicas De Conteo

Técnicas de Conteo.

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. La enumeración de puntos muéstrales en un espacio muestral, en ocasiones es difícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar, propiciando que se puedan cometer errores al emprender esa tarea. En estos casos se recurre al análisis combinatorio, que es unamanera más sofisticada de contar.
El principio fundamental del conteo establece: Si un evento puede suceder o realizarse de n maneras diferentes y si, continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse de n1 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1*n2*n3…

Principio de laMultiplicación.

Si los eventos A y B pueden ocurrir de m y n maneras distintas respectivamente, entonces el total de maneras distintas en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado es m x n. Esta regla puede extenderse a tantos eventos como se quiera. El número total de posibilidades es el producto del número de posibilidades de cada evento. Por ejemplo, si los eventos A, B, C y D puedenocurrir de m, n, o y p maneras distintas respectivamente, entonces el total de formas diferentes en que estos eventos pueden ocurrir en ese orden, es m x n x o x p.

Ejemplo:
¿Cuántos juegos de placas de circulación para automóviles pueden fabricarse, si se utilizan 3 dígitos y 3 letras (en ese orden), si no se puede repetir ningún dígito ni letra en cada placa, ni se puede utilizar el cero,las letras O, Ñ y W?

Solución:
Para el primer digito (D1) existen 9 posibilidades, al quedar excluido el 0; para el segundo dígito (D2) hay 8 alternativas, al no poder usar el 0 ni el usado en el primer espacio; para el tercer dígito (D3) quedan 7 posibilidades. Para la primera letra (L1) se tienen 24 alternativas, ya que de las 27 letras del abecedario, 3 están restringidas; para la segundaletra (L2) se tienen 23 alternativas y para la última letra (L3) quedan 22 posibilidades, por lo que:
(D1) (D2) (D3) (L1) (L3) (L2) = (9) (8) (7) (24) (23) (22) = 6120576
Se pueden fabricar 6120576 juegos de placas con estas características.

Ejemplo:
¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero nopuede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?

Solución:

a. a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos

b. b. 9 x9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos

c. c. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos

d. d. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

Diagrama de Árbol.
Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan unmétodo sistemático de enumeración objetiva de los resultados.

Ejemplo:
Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los futuros compradores de una casa, la elección del estilo de la fachada entre Tudor, Rustida, Colonial y Tradicional en una planta, dos pisos y desniveles. ¿En cuántas formas diferentes puede ordenar un comprador una de estas casas?

Solución:

Permutaciones.

Laspermutaciones de un numero n de objetos de un conjunto es cualquiera de las diferentes maneras de ubicar esos objetos en un orden definido. Se utiliza el símbolo nPn o P(n) cuando se toman las permutaciones de igual número n de elementos u objetos del conjunto.
Si se desean ordenar n objetos diferentes en una línea, el primero objeto se puede escoger de n maneras, el segundo de n-1; y el tercero...