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1.

Análisis de Sistemas Discretos

1.

Análisis de Sistemas Discretos ___________________ 1
1.1. Introducción ____________________________________________________________

________ 2 1.2. Estabilidad ____________________________________________________________

_________ 2
1.2.1. Estabilidad de Sistemas Lineales ___________________________________________________________3

1.2.2.Estabilidad de Sistemas con Entrada y Salida Acotadas(BIBO) ___________________________________4 1.2.3. Cómputo de la Estabilidad ____________________________________________________________

____6

1.3. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad ___________________________________ 15
1.3.1. Controlabilidad y Alcanzabilidad _________________________________________________________151.4. Observabilidad ____________________________________________________________

_____ 20 1.5. Descomposición de Kalman ______________________________________________________ 23 1.6. Pérdida de Alcanzabilidad y Observabilidad debido al muestreo _______________________ 24 1.7. Un Controlador Simple __________________________________________________________ 25
1.7.1. Estado Estacionario____________________________________________________________

________25

1.8. Simulación ____________________________________________________________

________ 27 1.1. Control de un Doble Integrador ___________________________________________________ 27

Clase 03.doc 1

1.1.

Introducción

Los sistemas a estudiar son

 xk +1 = Φ xk + Γuk   yk = Cxk

[1.1]

A ( q ) yk = B ( q ) ukA ( q ) = q na + a1q na −1 + B ( q ) = b0 q + b1q
nb nb −1

[1.2]

+ ana + + bnb

[1.3]

1.2.

Estabilidad

Dada unas secuencia

xk +1 = f ( xk , k )
sean dos secuencias xk y x 0 k soluciones de [1.4] Se dice que la secuencia x 0 k es estable si dado

[1.4]

xk 0 − x 0 k 0 < δ
se cumple

[1.5]

xk − x 0 k < ε

∀k ≥ k0

[1.6]

Se dice que la secuencia x 0 k esasintóticamente estable si se cumple

xk − x 0 k → 0 k → ∞

[1.7]

Clase 03.doc 2

1.2.1. Estabilidad de Sistemas Lineales Sea el sistema x 0 k +1 = Φ x 0 k con
[1.8]

x 00 = a 0
se cambia el valor inicial x0 = a resultando
xk +1 = Φ xk

[1.9]

[1.10]

[1.11]

La diferencia entre ambas soluciones es

xk +1 = xk +1 − x 0 k +1 = Φ xk
con

[1.12]

x0 = a − a 0

[1.13]

si x0 es estable, toda otra solución será también estable. la estabilidad es una característica del sistema y no de una solución determinada. La solución de

xk = Φ k x0

[1.14]

Si la matriz Φ se puede diagonalizar, la solución es una combinación lineal de los autovalores. Clase 03.doc 3

Si la matriz Φ no se puede diagonalizar, la solución es una combinación lineal del producto depolinomios por los autovalores. Pero en ambos casos, para que la solución tienda a cero los autovalores deberán ser menor que 1. Teorema 1. Un sistemas discreto, lineal, invariante en el tiempo es asintóticamente estable si todos los autovalores de Φ están dentro del círculo unidad. 1.2.2. Estabilidad de Sistemas con Entrada y Salida Acotadas(BIBO) Un sistema cuya entrada es acotada, es estable si susalida también lo es. La estabilidad asintótica es más restrictiva.

Clase 03.doc 4

Oscilador Armónico

 cos (ω T ) sen (ω T )  1 − cos (ω T ) xk +1 =  x + u − sen (ω T ) cos (ω T )  k  sen (ω T )  k     yk = [1 0] xk
Los autovalores son 1.

[1.15]

Si la entrada es nula, el sistema es estable porque xk = x0 Pero si la entrada es una onda cuadrada de frecuencia ω la salida es20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20

0

5

10

15

20

25

30

El sistema es estable pero no es estable en el sentido de entrada y salida acotada

Clase 03.doc 5

1.2.3. Cómputo de la Estabilidad - Cómputo directo de los autovalores - lugar de las raíces - criterio de Nyquist - método de Lyapunov - Cálculo directo: cálculo de las raíces de

A ( q ) = q na + a1q na −1 +

+ ana...
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