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Variable Compleja

Artemio Gonz´lez L´pez a o

Madrid, septiembre de 2003

´ Indice general
1. Funciones anal´ ıticas 1.1. Definici´n y propiedades algebraicas de los o n´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.2. M´dulo y argumento. F´rmula de de Moivre. o o Ra´ ıces. Conjugaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.1. Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.F´rmula de de Moivre . . . . . . . . . . . o 1.2.3. Ra´ ıces n-´simas . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3. La funci´n exponencial, funciones trigonom´tricas o e mos y potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . o 1.3.2. Funciones trigonom´tricas e hiperb´licas . e o 1.3.3. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Potencias complejas . .. . . . . . . . . . 1.4. L´ ımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. L´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann . . . . . 1.5.2. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Teorema de la funci´n inversa . . . . . . . o1.5.4. Transformaciones conformes . . . . . . . . 1.5.5. Funciones arm´nicas . . . . . . . . . . . . o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e hiperb´licas, logarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 6 6 7 7 8 9 11 11 12 12 13 13 15 16 17 17 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 24 26 27 27 27 28 30 30 30

2. El teorema de Cauchy 2.1. Integraci´n sobre arcos: definici´n y o o propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Teorema de Cauchy–Goursat. Homotop´ ıa. Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Homotop´ Teorema de Cauchy . . . . . . . . ıa. ´ 2.3.Indice. F´rmula integral de Cauchy o y sus consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. ´ Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. F´rmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . o 2.3.3. F´rmula integral de Cauchy para las derivadas o 2.3.4. Desigualdades de Cauchy . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Teoremade Morera . . . . . . . . . . . . . . .

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´ INDICE GENERAL ´ 2.3.7. Teorema fundamental del Algebra . . . . . . . . . 2.4. Principio del m´dulo m´ximo. Propiedad del valor medio o a 2.4.1. Propiedad del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Principio del m´dulo m´ximo . . . . . . . . . . . . o a 2.4.3. Principio del m´dulo m´ximo global . . . . . . . . o a 3. Representaci´n defunciones anal´ o ıticas mediante series 3.1. Convergencia de sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Sucesiones y series de n´meros complejos . . . . . u 3.1.2. Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Convergencia de series de potencias. Teoremas de Taylor y Laurent. . . . . . .. . . . . . . . . 3.2.1. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Teorema de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Clasificaci´n de singularidades aisladas . . . . . . . o 4. C´lculo de residuos a 4.1. M´todos para el c´lculo de residuos e a 4.2. Teorema de los residuos . . . . . . 4.3. C´lculo de...