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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

7 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Introducción Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u(t) y genera una salida y(t). Si llevamos estas señales aldominio de Laplace tendremos una entrada U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona salida con entrada se denomina función de transferencia g(s).

De modo que Y(s) = g(s)×U(s) .

Sistemas de primer orden Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O seaque se reducen al formato siguiente:

τ

dy yk u dt

donde k se denomina ganancia del proceso y  es la constante de tiempo del sistema. En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables “desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 , u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace

τsY s   y 0  Y s   kU s τsY s   Y s   kU s  τs  1Y s   kU s 

Y s  

k U s  τs  1 Y s   g s U s  k g s   τs  1
Veamos un ejemplo: un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le extrae el mismo caudal: ILM 1

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Del balance de materia

d VC   vCin  vC dt

Como V es constante porque entra y sale el mismo caudal

dC v v  Cin C dt V V
Estado estacionario: dC/dt = 0 ; Cs= Cin . Por lo tanto

d C  Cs  v v  Cin  Cin s  C  Cs  dt V V





V d C  Cs   C  Cs   Cin  Cin s v dt





Que es de la forma

τ

dy yk u dt

donde = V/v , y = C – Cs , u = Cin – Cin s

Respuestas de sistemas de primer orden a diferentes entradas Seguimos manejándonos con el esquema

donde

g s  k  s 1

Escalón de magnitud U a tiempo t = 0 Sabemos que U LU   s Por lo tanto

Y s  

k U sτs  1
2

ILM

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Tomando antitransformadas

 1  t τ L-1    1 e  sτs  1

O bien

yt   kU 1  et τ




yt   1  e t τ kU

Que escrito en forma adimensional es





1 0.9 0.8

salida adimensional

0.70.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t/tau 3 3.5 4 4.5 5

Por ejemplo: consideremos un tanque de V = 5m3 con v = 1 m3/min, concentración en estado estacionario 1.25 mol/m3. Considerar un cambio en la concentración de entrada desde 1.25 mol/m3 a 1.75 mol/m3. U = 0.5 mol/m3  = 5 min

U s  

U 0.5  s s 1 0.5 Y s   5s  1 s

Por lo tanto la respuesta en el dominio del tiemposerá

yt   0.5 1  et 5 Siendo y la variable reducida por lo que la concentración en el tanque será C t   1.25  0.5 1  e







t 5


C (mol/m3)

1.75 1.7 1.65 1.6 1.55 1.5 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 0 5 10 t (min) 15 20 25

Ver „ejem7.1.sce‟ y „ejem7.1.cos‟ (este último en Scicos). ILM 3

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Conociendo la respuesta de una función deprimer orden a un escalón en la entrada se pueden estimar los parámetros de la función de transferencia del proceso: Estimación de la ganancia:

k

y t  y  U t  U

O bien

k  lim Gs 
s 0

Estimación de la constante de tiempo: Identificando el valor de tiempo en el cual la respuesta vale 0.632 del valor final:

yτ   k U 1  e1  0.632 k U





O bien evaluandody kU t τ  e dt τ
dy kU  dt t 0 τ

 

en t = 0

Ejemplo: El operador de un proceso realiza un cambio en el caudal de entrada pasando de 20 a 17.5 gal/min y encuentra que la presión cambia de 50 a 55 psig como se muestra en la figura.

k

55  50 psig  2 psig gpm Y  U 17.5  20gpm

yτ   k U 1  e1  0.632 k U
ILM





P  50  0.632  5  53.2 psig...