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Matrices
Introducci´n. Una matriz de m filas y n columnas con elementos en el cuerpo K es un rect´ngulo o a de elementos de K (es decir, n´meros) del tipo u   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A = (aij ) =  . . . . .. . .   . . . . . am1 am2 ··· amn El elemento aij est´ en la fila i y la columna j. Notaremos por Mm×n (K) al conjunto de todas estas a matrices. Las matrices sonreales cuando K = R y complejas cuando K = C. Matrices cuadradas. Si m = n, la matrices son cuadradas. Mn (K) = Mn×n (K) es el conjunto de matrices cuadradas de orden n con elementos en K. Las matrices cuadradas m´s importantes son las a Diagonales, cuando aij = 0 para todo i = j. Triangulares superiores, cuando aij = 0 para todo i > j. Triangulares inferiores, cuando aij = 0 para todo i < j.Sim´tricas, cuando aij = aji . e Operaciones con matrices. Las operaciones b´sicas con matrices son las siguientes. a Producto de escalar por matriz. Dada una matriz A = (aij ) ∈ Mm×n (K) y un escalar λ ∈ K, su producto C = (cij ) = λ · A ∈ Mm×n (K) se calcula haciendo cij = λ · aij . Suma de matrices. Dadas dos matrices A = (aij ) ∈ Mm×n y B = (bij ) ∈ Mm×n , su suma S = (sij ) = A + B ∈ Mm×n se calculahaciendo sij = aij + bij . Producto de matrices. Dadas dos matrices A = (aik ) ∈ Mm×n y B = (bkj ) ∈ Mn×l , su producto P = (pij ) = AB ∈ Mm×l se calcula haciendo
n

pij =
k=1

aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj .

El elemento pij es el producto escalar de fila i de la matriz A y la columna j de la matriz B. Por eso un producto de matrices s´lo tiene sentido cuando la primeramatriz tiene tantas o columnas como filas la segunda. Transpuesta de una matriz. Dada A = (aij ) ∈ Mm×n , su transpuesta A = (αij ) ∈ Mn×m se calcula haciendo αij = aji . Por tanto, las matrices sim´tricas cumplen A = A. e A continuaci´n, se listan las propiedades m´s importantes de estas operaciones. o a Mm×n (K), +, · es un K-ev de dimension mn. El elemento neutro de la suma de matrices es la matriznula: 0. El elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad: Id. Propiedad asociativa combinada: λ · (AB) = (λ · A)B = A(λ · B). El producto de matrices es asociativo: (AB)C = A(BC). El producto de matrices no es conmutativo. El producto de matrices no tiene la propiedad del elemento inverso. Propiedad distributiva del producto de matrices: A(B+C) = AB+AC y (A+B)C = AC+BC. Latranspuesta de la transpuesta es la matriz inicial: (A ) = A. La transpuesta de la suma es la suma de transpuestas: (A + B) = A + B . La transpuesta del producto es el producto (permutado) de transpuestas: (AB) = B A . Ejercicio. Encontrad ejemplos que pongan de manifiesto las siguientes afirmaciones. 1. AB = BA. 2. AB = 0 no implica que A = 0 o B = 0. M´s a´n, A2 = 0 no implica que A = 0. a u 3. AC = BCcon C = 0 no implica A = B. Problema relacionado. 12.
1

2

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼rafael/al/matrices.pdf

Rango de una matriz. El rango de una matriz A se puede definir de tres formas equivalentes: Es el n´mero de columnas li de A. u Es el n´mero de filas li de A. u Es el m´ximo orden de los menores de A con determinante no nulo. a (Para saber que es un menor consultar eltema Determinantes.) En particular, una matriz y su transpuesta siempre tienen el mismo rango: rango A = rango A . El rango es importante en la resoluci´n de sistemas lineales. Por tanto, necesitamos alg´n m´todo o u e para calcularlo. Uno de los mejores consiste en saber que el rango de una matriz no cambia al efectuar transformaciones elementales por filas, a saber: Permutar dos filas. Multiplicaruna fila por un escalar no nulo. Sumar a una fila una cl de las restantes. Cuando una matriz A se pueda convertir en otra matriz B mediante transformaciones elementales, escribiremos A ∼ B. (Aunque sean utiles, evitaremos las transformaciones elementales por columnas.) ´ El m´todo para calcular el rango de una matriz A se basa en convertirla mediante una cadena de e transformaciones elementales en...
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