Telecomunicaciones

Modelo matematico de un robot movil
F.R. Freire
Facultad deIingenierias, Universidad Politécnica Salesiana, Quito, Ecuador

RESUMEN: Este articulo trata sobre la elaboracion de un modelo matemático de un robot móvil de ruedas mediante la utilizacion de las ecuaciones de Appel, en este modelo se tomo en cuenta la cinemática y la dinámica del robot móvil. En este estudio el robot es analizadocomo un sistema no-holonomo, lo que permite unificar aspectos cinemáticos, dinámicos, electro-mecánicos y geométricos del robot, en un solo sistema de ecuaciones diferenciales.La mayoría de los modelos utilizan el formalismo estandartizado de Lagrañian para modelar el comportamiento de robots moviles, a pesar que no es aplicable a sistemas con enlaces no diferenciables, siendo una opcion lautilizacion de las ecuaciones de Appel para sistemas no-holonomos.

1 DEFINICION DEL MODELO MATEMATICO La mayoría de los metodos utilizados para modelar la dinamica de los robot moviles utilizan la metodología mediante la utilización de las ecuaciones de Lagrañian de segundo género, a pesar que existen métodos no menos interesantes como por ejemplo mediante la utilización de las ecuaciones de Appelpara sistemas no-holonomos. La dinámica de los sistemas no-holonomos se utilizan cuando el formalismo estandartizado de Lagrañian no es aplicable a los sistemas con enlaces no diferenciables, es decir las ecuaciones de los enlaces definidas a partir de las coordenadas generalizadas q j y las velocidades gene& ralizadas q j (Borizov 2002) como No pueden ser presentadas en forma integral (Hertz 1910)Fi (q, t ) = 0 , en este caso las ecuaciones de Appel son una solución, las cuales se escriben como

& f i (q, q, t ) = 0, i = 1,..., k , q = (q1 ,..., qn )

⎛ ∂S ⎞ ⎜ && ⎟ = Π, ⎝ ∂Π ⎠
Donde la función S , es la energía de la aceleración del sistema (Lurye 1961), calculada tomando en cuenta las ecuaciones de los enlaces, o las funciones de Appel, y Π es el vector de las fuerzas generalizadas.Para modelar el movimiento del robot móvil de ruedas propuesto en este articulo se utilizo un modelo (Martinenko 2003) donde la posición del robot se determinada mediante siete coordenadas generalizadas que forman el vector q:

T

q = x , y , ψ , β , ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3

T

(1)

donde х, y son las coordenadas del punto A (que es el centro de la línea que une las ruedas motrices); ψ es elángulo de giro de la plataforma, contabilizado desde el eje x; β es el ángulo de giro del soporte de la rueda royal en relación a la plataforma, ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 ángulos de giro de las ruedas en relación con los ejes horizontales. El movimiento del robot se analiza en relación a un sistema de coordenadas estacionario OXY. El sistema de las coordenadas móvil Ax1y1 con centro en el punto A, esta fijo enplataforma del robot. El eje x1, es perpendicular al trozo que une los centros de las ruedas motrices, y es habitualmente el eje de simetría del robot. La tracción a las ruedas motrices es independiente determinada por los motores de iguales características instalados en las ruedas y son controlados mediante tensiones aplicadas a los motores correspondientemente: UL - para la rueda izquierda y UR -para la rueda derecha. El movimiento de todas las ruedas transcurre sin fricción lo que conlleva a cinco ecuaciones independientes de los enlaces no-holonomos. Así, el robot tiene dos grados de libertad y en ca& & lidad de las seudo-velocidades V, Ω es conveniente escoger la relación V = x cosψ + y sinψ & que es la velocidad del punto A y la velocidad angular de la plataforma Ω = ψ El vector de lavelocidad del centro de la tercera rueda está en el plano de esta rueda. Esta condición representa el enlace no-holonomo, que se puede escribir mediante la ecuación

β+Ω =

•

V Ωb sin β − cos β d d

(2)

Esta ecuación permite calcular la velocidad angular del soporte de la rueda delantera.

Figura 1. Esquema del robot móvil

Generalmente la masa de la rueda royal con su soporte...