Tema 08 Geometr A Anal Tica Alcaste Ejercicios Resueltos

Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas I – 1º Bachillerato

1

GEOMETRÍA ANALÍTICA
EJERCICIO 1 :
a) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(3,2) y tiene la misma
dirección que el vector v(1,-2)
b) Obtén tres puntos de r
c) Comprueba si los puntos A(7,-6) y B(-3,7) pertenecen a r.
x  3  k
a) r: 
 y  2  2k
k  1  P1 (4,0)

b) Dando valores a “k” obtenemos lospuntos  k  2  P2 (5,2)
k  1  P (6,4)
3

7  3  k  k  4
c) A =(7,-6)  
 Como coinciden, A pertenece a r
 6  2  2 k  k  4

 3  3  k  k  6

B =(-3,7)  
5  Como no coinciden, B no pertenece a r
7

2

2
k

k



2
EJERCICIO 2 : Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(-1,3) y B(5,-1)
Punto : A(1,3)
x  1  3k
r: 
 r:
Vector : v  AB (6,4) || (3, 2)
 y  3  2k
x  7  2 t
EJERCICIO 3 : Halla una recta paralela y otra perpendicular a r: 
que pasen por
y  4  3t
el punto M(1,-2)
Punto : M (1, 2)
x  1  2t
Paralela: s: 
 s:
Vector : v s paralelo v r (2,3)  v s (2,3)
 y   2  3t
Punto : M(1,2)
x  1  3t
Perpendicular: p: 
 p:
 y  2  2t
Vector : v p perpendicu lar a v r (2,3)  v p  (3,2)

 x 5  2k
x  4k
x  3  k
EJERCICIO 4 : Dadas las rectas r1 : 
, r2: 
y r3 : 
estudiar la
 y  2  4k
 y  1  2k
 y  6  2k
posición relativa y hallar el punto de corte, si es posible, en los siguientes casos:
a) r1 y r2
b) r1 y r3
a) Resolvemos el sistema, cambiando el nombre a un parámetro:
5  2k  4t
 2k  4t  5  4k  8t  10
11


 10 t  11  t  

10
2  4 k  1 2 t
4k  2 t  1
4k  2 t  1
Sistema compatible determinado, existe una solución. Se cortan en un punto (secantes)

Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas I – 1º Bachillerato

2

Para hallar el punto de corte, sustituimos el valor de “t” en r2:

 11  44 22
x  4.  10   10  5



 22 16 
 P , 

 5 5
y  1  2.  11   32  16

 10  10 5
b) Resolvemos elsistema, cambiando el nombre a un parámetro:
5  2k  3  t
 2k  t  2  4k  2 t  4


 Sumándolas 0  0

2  4 k  6  2 t
4 k  2 t  4
4k  2 t  4
Sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones. Son coincidentes
x  3  2 t
EJERCICIO 5 : Dadas las rectas r: 
y s: 2x – 3y + 9 = 0, halla:
y  5  3t
a) La ecuación implícita de r y su pendiente
b) Las ecuacionesparamétricas de s
c) El punto de corte de r y s
Punto P(3,5)
a) r : 
 3x  2 y  C  0  9  10  C  0  C  19
Vector normal : v  (-2,3)  n  (3,2)
 3x + 2y – 19 = 0  m = -3/2
Punto : x  0, y  3  (0,3)
x  3t
b) s : 

Vector : n  (2,3)  v  (3,2)  y  3  2 t
c) Resolvemos el sistema: 2(3-2t)-3(5+3t)+9 = 0  6-4t-15-9t+9=0  -13t=0  t = 0  P(3,5)
EJERCICIO 6 : Dada las rectasr: 3x – 2y + 6 = 0 y el punto P(5,-1), halla las ecuaciones de
las rectas s y p que pasen por P y sean:
a) s paralela a r
b) p perpendicular a r
a) 3x – 2y + C = 0  15+2+C = 0  C = -17  3x – 2y – 17 = 0
b) 2x + 3y + C = 0  10 – 3 + C = 0  C = -7  2x + 3y – 7 = 0
x  t
EJERCICIO 7 : Halla el ángulo que forman las rectas r: 
y s: x – y = 0
y  4  2 t
vr = (1,-2), ns = (1, -1)  vs =(1,1)
cos (r,s) = cos (vr,vs) =

v r .v s
v r . vs



1 2
5 2



1
10

   71º 33'54' '

Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas I – 1º Bachillerato

3

EJERCICIO 8 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,5) y forma un ángulo
de 45º con la recta r: 2x + 3y – 6 = 0
Punto : P(3,5)

2

ms 
1
s: 
m

m
2
s
r
3  1  3m s  2 m s 
Pendiente
:
m



tag
45
º


1

5
r
2
3
1  m s .m r
3  2m s m  5
1  ms .

s
3

1
Dos soluciones: s1: y-5 = ( x  3)  x – 5y + 22 = 0
5
s2 : y – 5 = -5(x-3)  5x+ y - 20 = 0
EJERCICIO 9 : En el triángulo de vértices A(0,-1), B(8,3) y C(6,-1) calcula la longitud de la
altura que parte de B
B

Altura = d(B,rAC)
A
B

C

Calculamos la recta rAC: Recta que pasa por A y C:
Punto : A(0,1)
rAC 
 0x+6y+C= 0  -6 + C = 0
Vector...