Tema 1 matrices algebra lineal

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 9 (2232 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 1 de junio de 2011
Leer documento completo
Vista previa del texto
Álgebra Lineal (Ingeniería Informática)

Tema 1, pág. 1

Tema 1. Introducción a Matrices
1. Definiciones
Se llama matriz de dimensiones m  n a una tabla de números compuesta por m filas y n columnas. Las matrices se indican por letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas. Así podemos tener una matriz A e indicamos por aij al elemento de la matriz A situado en la fila i y enla columna j. Una matriz genérica de tamaño o dimensión m n sería:

 a11 a12 a13  a1n     a 21 a 22 a 23  a 2 n  A      a a a  a  mn   m1 m 2 m3
    Se llama matriz fila a una matriz m  1 Se llama matriz columna a una matriz 1  n Se llama matriz cuadrada a una matriz a una matriz n  n (es decir, con igual número de filas que de columnas). Se dirá que es una matrizcuadrada de orden n. Se llama matriz identidad y se indica por I a una matriz cuadrada toda compuesta por ceros, salvo en la diagonal donde van unos, por ejemplo:

I

1 0 0      0 1 0  0 0 1  

Sería la matriz identidad de orden 3.   Se indica por  , matriz nula, a una matriz de cualquier tamaño toda compuesta por ceros. Se llama matriz triangular superior a una matriz cuadrada quetiene ceros por debajo de su diagonal. Por ejemplo:

T

3   0 0 

4 5   2 1 0  3 

sería una matriz triangular superior de orden 3.  Diremos que una matriz T cuadrada es triangular inferior si los elementos de T situados por encima de la diagonal son ceros.

Álgebra Lineal (Ingeniería Informática)

Tema 1, pág. 2

T

2  2  1  1 

0 4 1 1

0 0 5 2

0 0 0  1 



Diremos que una matriz cuadrada es diagonal si todos los elementos situados fuera de la diagonal son ceros.

3 0 0    D  0 2 0 0 0 4  

2. Operaciones con matrices
Suma de matrices.- Dadas dos matrices A y B ambas de dimensiones m n , se llama A+B a otra matriz del mismo tamaño que las anteriores y tal que el elemento situado en la posición (i, j) (fila i,columna j) de la matriz resultado se obtiene sumando los elementos colocados en esa posición de ambas matrices. Es decir:

A B

 a11 a12 a13  a1n     a 21 a 22 a 23  a 2n   +    a a m 2 a m3  a mn   m1 

 b11 b12 b13  b1n     b21 b22 b23  b2 n    =   b b b  bmn   m1 m 2 m3 

 a11 b11 a12  b12  a 22  b22 a  b   21 21   a  b a  b m2  m1 m1 m2

a13  b13  a 23  b23 a m3  bm3

a1n  b1n    a 2n  b2n     a mn  bmn  

Producto de un escalar por una matriz.- Sea α un número cualquiera y sea A una matriz, se define el producto de un escalar (un número) por una matriz como otra matriz definida como sigue:

 a11 a12 a13  a1n   a11 a12 a13   a1n       a 21 a 22 a 23  a 2 n   a 21 a 22 a 23  a 2 n  A            a a a  a mn   a m1 a m 2 a m3  a mn   m1 m 2 m3   
Propiedades     Conmutativa: Asociativa:
A  ( A)  

A  B  B  A para cualesquiera dos matrices.
A  ( B  C )  ( A  B)  C para cualesquiera tres matrices.  A  (1) A

A    A para cualquier matriz.

siendo

Álgebra Lineal (Ingeniería Informática)

Tema 1, pág. 3

 

( A  B)  A  B (  ) A  A  A

Siempre Siempre

Observación: La diferencia de matrices se obtiene a partir de las definiciones anteriores:

 a11 a12 a13  a1n   b11 b12 b13  b1n       a 21 a 22 a 23  a 2 n   b21 b22 b23  b2n  A  B  A  (1) B  =   + (-1)   =      a a a  b b b   m1 m 2 m3  a mn   m1 m 2 m3  bmn 
 a11  b11   a  b21   21  a  b m1  m1 a12  b12 a 22  b22 a m 2  bm 2 a13  b13  a 23  b23 a m3  bm3 a1n  b1n    a 2n  b2n     a mn  bmn  

Producto de matrices.- Sea A una matriz

m n y sea B una matriz n  p ( observar

que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B), vamos a definir el producto AB como otra matriz de tamaño m  p donde el elemento que ocupa la...
tracking img