TEMA 4

Cálculo II (0252)
Semestre 1-2011

TEMA 4
APLICACIONES
DE LA
INTEGRAL
DEFINIDA

Semestre
1-2011

José Luis Quintero
Junio 2011

Departamento de
Matemática Aplicada

U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO II (0252)

Prof.
José Luis Quintero

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al
estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de las aplicaciones de la integraldefinida.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de
repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y
propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,
también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo
más didáctico posible y se esperaprestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo II en
Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora
del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:
quinterodavila@hotmail.com.

INDICE GENERAL
U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO II (0252)

Departamento de
Matemática Aplicada
Prof.
José Luis Quintero

TEMA 4. APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA
4.1.

Área entre dos curvas

171

4.2.

Volumen de un sólido de revolución

174

4.3.

Método de los discos para el cálculo del volumen

175

4.4.

Método de los cilindros para el cálculo del volumen

176

4.5.

Método de las secciones de área conocida

180

4.6.

Ejercicios resueltos

181

4.7.

Longitud de arco de una curva

186

4.8.

Área de una superficie de revolución188

4.9.

Ejercicios

189

4.10. Momentos y centro de masa de una región plana

195

4.11. Centro de masa de una curva plana

196

4.12. Teoremas de Pappus

197

4.13. Ejercicios resueltos

198

4.14. Ejercicios propuestos

204

G

U.C.V.

F.I.U.C.V.

ÁREA ENTRE DOS CURVAS

Aplicaciones de la
Integral Definida
Pág.: 171 de 210

CÁLCULO II (0252) – TEMA 4

Prof.
José Luis Quintero

4.1. ÁREAENTRE DOS CURVAS
Ya se ha visto que si f(x) es positiva en a,b  entonces

∫

b

f(x)dx
a

representa el área de la región limitada por f(x) sobre a,b  .
Suponga que se tiene una región limitada por las curvas y = f(x) e y = g(x) donde f(x)
y g(x) son funciones continuas definidas en a,b  con f(x) ≥ g(x) para cada x en a,b  (ver
figura 1).

Figura 1. Región limitada por f(x) y g(x) en[a,b]

Para calcular su área se considera por separado las áreas limitadas por y = f(x) e

y = g(x) . Se tiene que el área limitada por f(x) y g(x) en el intervalo a,b es

área =

∫

b

 f(x) − g(x) dx
a

Si las curvas que limitan la región son funciones de y, digamos x = f(y) , x = g(y)
definidas en c, d con f(y) ≥ g(y) entonces el área de la región viene dada por

U.C.V.

ÁREA ENTREDOS CURVAS

Aplicaciones de la
Integral Definida
Pág.: 172 de 210

CÁLCULO II (0252) – TEMA 4

Prof.
José Luis Quintero

F.I.U.C.V.

área =

∫

d

f(y) − g(y) dy
c

Ejemplo 1. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones
(x − 2)2
2
2
y=
−1 ; y = x +
; x = 4.
9
5
5
Solución.
Gráficamente se tiene que (ver figura 2)

Figura 2. Región del ejemplo 1

Área =

∫

4

2
2 (x − 2)2
235
+ 1 dx =
.
 x+ −
5
5
9
27




−1

Ejemplo 2. Halle el área de la región R señalada en la figura 3, que está limitada por las
gráficas de las ecuaciones
x2
x
y=
− 2x + 1 ; y = + 1 ; y = −x + 5 .
2
3
Solución. (ver figura 3)

Área de R1 =

∫

3

0

x

x2
+ 2x − 1 dx = 6 , Área de R2 =
 +1−
2
 3


∫

Área de R = Área de R1 + Área de R 2 = 6 +

4

3



x2
31
+ 2x − 1 dx=
 −x + 5 −
2
3



31 49
.
=
3
3

U.C.V.

ÁREA ENTRE DOS CURVAS

Aplicaciones de la
Integral Definida
Pág.: 173 de 210

CÁLCULO II (0252) – TEMA 4

Prof.
José Luis Quintero

F.I.U.C.V.

Figura 3. Región del ejemplo 2

Ejemplo 3. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones

y2 = x ; y = −x + 2 .
Solución.
La representación gráfica es la siguiente (ver figura...