Tema de matematicas numeros reales

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TEMA 6

NUMEROS REALES. TOPOLOGIA DE LA RECTA REAL

Indice
1. introduccion 1
2. construccion de[pic] 1
2.1. Inmersion de [pic]en[pic] 2
3. El cuerpo de los numeros reales 3
4. orden de [pic] 4
5. Axioma de completitud de [pic] 5
6. caracteristicas del cuerpo de los numeros reales 5
6.1. [pic]es arquimediano 5
6.2. Valor absoluto 6
6.3. Densidad de [pic]en[pic] 6
7.interpretacion geometrica 6
8. topologia de la recta real 7
9. Conclusion 9
10. Bibliografia 9

introduccion

Los griegos (escuela pitagórica) detectaron ya la insuficiencia de los números racionales para medir determinadas magnitudes. En particular, observaron que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2 cuando aplicaron el teorema de Pitágoras al tratar de medir la diagonalde un cuadrado de lado 1.

Además, existen sucesiones (de Cauchy) de números racionales que no son convergentes en [pic](por tanto, [pic]no es completo), o también se puede observar que en un conjunto ordenado cualquiera, no todo subconjunto no vacío y acotado superiormente posee supremo como ocurre con el subconjunto de [pic] formado por todos aquellos racionales cuyo cuadrado es menorque 2.

Es por ello que surge la necesidad de construir un conjunto que amplíe [pic] y que resuelva todas estas carencias. A este conjunto lo llamaremos de los números reales y lo denotaremos por [pic].

construccion de[pic]

Los intervalos encajados, las sucesiones de Cauchy, las cortaduras de Dedekind o la axiomática son métodos utilizados en la introducción y construcción delconjunto de los números reales. Los tres primeros consiguen obtener un cuerpo conmutativo totalmente ordenado y completo (cumpliendo la propiedad del supremo) a partir del conjunto[pic], y los tres tienen la necesidad de utilizar conjuntos infinitos de racionales para definir un número real, cosa que no sucedía en las sucesivas ampliaciones de [pic]a[pic]y de [pic]a [pic].

Comoconsecuencia de que cualquiera de los métodos define un modelo único, salvo isomorfismos, se ha elegido el modelo de las sucesiones de Cauchy por considerar que el paso de los racionales a los reales no se puede entender sin las nociones de sucesión y convergencia.

En primer lugar definimos una sucesión de Cauchy y sus propiedades. Una sucesión {yn} ( [pic]se dice regular o de Cauchy (en [pic])si:

[pic][1]

Denotaremos por [pic]el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en [pic].
Propiedades:
• Toda sucesión de números racionales convergente en[pic]es de Cauchy, por tanto es regular.
• Toda sucesión de Cauchy está acotada
• Toda sucesión de Cauchy no convergente a cero está acotada inferiormente en valor absoluto, apartir de cierto término.

• DEFINICIÓN 2.1: Diremos que una sucesión de números racionales {xn} es un infinitésimo si converge a cero, es decir, si[pic].

Se define en [pic]una relación como sigue:
(xn)[pic](yn) [pic]{ xn-yn} es un infinitésimo (esto es, [pic] )
Es inmediato comprobar que esta relación es de equivalencia pues verifica las propiedades reflexiva, simétrica ytransitiva.
De este modo podemos dividir [pic]en clases de equivalencia disjuntas, cuyo conjunto cociente se llamará conjunto de los números reales, simbolizándolo con la letra [pic].
[pic]
con lo cual un número real es una clase equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales. Lo denotaremos por:
[pic]
Queda, pues definido un número real, dando una sucesión de Cauchy denúmeros racionales.

1 Inmersion de [pic]en [pic]

A continuación vamos a ver que [pic]es una extensión efectiva de [pic]. Para ello vamos a establecer un monomorfismo entre ambos conjuntos para lo que definimos la siguiente aplicación:
[pic]
[pic]
La aplicación anterior presenta las siguientes propiedades:
a) Es inyectiva
b) φ(a+b)= φ (a)+ φ (b)...
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