Temario unidad ii calculo diferencial e integral

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Ingeniería Mecánica

CALCULO DIFERNCIAL E INTEGRAL

TEMARIO UNIDAD I

Profesor: Fco. Javier Castillo
Alumno: Antonio Cantero Cruz
Grupo: 1MV9

Indice

Introducción a los números reales………………………………….3
R no es numerable

Números Naturales……………………………………………………..5

Principio de inducción matemática……………………………………6

Enteros, Racionales e Irracionales…………………………………7
Losnúmeros enteros
Los números racionales
Densidad del orden
Propiedad arquimediana (o de Arquímedes)
Representación decimal de números racionales:
Los números irracionales

Campo de los números reales………………………………………..15

Valor Absoluto de un número real
Propiedades……………………………………………………………..16
Propiedades del valor absoluto

Ley de tricotomía……………………………………………………….17
InterpretaciónDefinición de intervalos en los números reales…………………18
Intervalo abierto
Intervalo cerrado
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semi-abierto por la derecha
Semirrecta

Solución de desigualdades de 1er y 2do grado en una y dos variables…………………………………………………………………20
Ecuación polinómica
Ecuación de primer grado
Resolución de ecuaciones de primer grado: problema
Ecuaciones desegundo grado
Tipos de ecuación algebraica
Bibliografía………………………………………………………………27
Introducción a los números reales
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales:

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ,   y es un conjunto totalmente ordenado.
Teniendo eso en cuenta, se puederepresentar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e  son heredadas por.
Como ya se ha visto,  es denso en  . También  es denso en .
Podemos considerar  como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
A diferencia de lo visto para, y, el conjunto de los reales no es numerable.
Una demostración:
R no es numerable

Vamos a demostrar que  no es numerable, y para ello vamos a considerar únicamente los números reales entre 0 y 1 y vamos a ver que ellos ya forman un conjunto no numerable, por lo que el conjunto total de los reales será ciertamente no numerable ya que contiene un subconjunto no numerable.
El conjunto de todoslos números reales entre 0 y 1 está formado por todas las expresiones decimales que tienen 0 como parte entera (es decir, la parte a la izquierda de la coma decimal).
Razonemos por reducción al absurdo y supongamos que sí pueden numerarse dichas expresiones decimales.
Denominemos  a la primera de ellas,   a la segunda, etc, de modo que la
correspondencia es biyectiva.
.
Definimos ahorapara cada n 
Consideremos la expresión decimal .............
Obviamente  está entre 0 y 1, luego debe existir algún  tal que , pero vemos que esto no es posible ya que la -ésima cifra decimal de  es , que es obviamente distinta de la -ésima cifra decimal de , que es 

Nótese que, teniendo en cuenta que , el hecho de haber probado que el conjunto de los reales es no numerable y el de losracionales numerable, automáticamente implica que el conjunto de los irracionales ha de ser no numerable.

Números Naturales

| Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...} |
Con los números naturales  se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semi-grupo conmutativo.
Con la operación producto los naturales también tienenestructura de semi-grupo conmutativo.
El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto...
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