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1.4.2 El principio de Incertidumbre de Heisenberg
El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad. Este principio fué enunciado por W. Heisenberg en 1927.
• Es natural pensar que si una partícula esta localizada, debemos poder
asociar con ésta un paquete de ondas mas o menos bienlocalizado.
Un paquete de ondas se construye mediante la superposición de un número
infinito de ondas armónicas de diferentes frecuencias.
En un instante de tiempo dado, la función de onda asociada con un paquete
de ondas esta dado por

donde k representa el número de onda

y donde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número
de ondas) que varian desde cero amas infinito ponderadas mediante el factor
g(k).
El momento de la partícula y el número de ondas estan relacionados
ya que

de lo cual se deduce que

• Queda claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas
las contribuciones de las ondas cuyo número de onda varia entre cero e
infinito y por lo tanto el momento tambien varia entre
cero e infinito. Es decir queesta completamente indeterminado.
• Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes
tipos de paquetes de onda y su transformada de Fourier que nos dice
como estan distribuidas las contribuciones de las ondas con número de ondas
k dentro del paquete.

• En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el
espacio x, tiene contribucionespracticamente iguales de todas las ondas
con número de ondas k.
• En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquete de ondas, también es posible definir el número de ondas (o el momento) de la partícula.
• En el último caso vemos que para definir bien el momento de la partícula, entonces su posición queda completamente indefinida.
• Es posible determinar el ancho, o laincertidumbre, del paquete de ondas tanto en el espacio normal como en el espacio de momentos .
El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en
la precisión con el cual podemos determinar al mismo tiempo la
posición y el momento de una partícula.
• La expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es

• Si queremos determinar con totalprecisión la posición:

• De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos
entonces que

Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.

1.4.3 ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
La ecuación de Schrödinger fue desarrollada por el físico austríaco Erwin Schrödinger en 1925. Describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en lateoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.
Formulación moderna de la ecuación
En mecánica cuántica, el estado en el instante t de un sistemase describe por un elemento del espacio complejo de Hilbert — usando la notación bra-ket de Paul Dirac. representa las probabilidades de resultados de todas las medidas posibles de un sistema.
La evolución temporal de se describe por la ecuación de Schrödinger :


donde
• : es la unidad imaginaria ;
• : es la constante de Planck normalizada (h/2π) ;
• : es el hamiltoniano,dependiente del tiempo en general, el observable corresponde a la energía total del sistema ;
• : es el observable posición ;
• : es el observable impulso.
Como con la fuerza en la segunda ley de Newton, su forma exacta no la da la ecuación de Schrödinger, y ha de ser determinada independientemente, a partir de las propiedades físicas del sistema cuántico.
Debe notarse que, contrariamente a las...
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