Temas de biostadistica

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Departamento de Medicina
BIOESTADISTICA
Distribución Muestral de Medias
Distribución Muestral de proporciones
Teorema de Limite Central
Docente: Lic. Ms. Oscar Antonio Campos.

Alumnos Integrantes:
González Solís, Brenda Idalia
Duran Hernández, Maidely Elizabeth
Guevara González, Ikrad Raisa
Torres Sánchez, Alberth Balmore
Acosta Gálvez, Jerson Giovany
García Viera, JaimeWilfredo

Distribución Muestral de Medias
Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica.
Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:

En donde z es una variable estandarizadacon media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z.
Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar lafórmula de la distribución normal con y , entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la siguiente manera:

Una distribución muestral de medias o una distribución en el muestreo de la media se define como el conjunto de todas las medias que se pueden calcular en todas las muestras posibles que se puedenextraer, con o sin reemplazo, de una determinada población.

Ejemplo:
Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.
Solución:
ʯ = 800 focos
σ = 40 hrs.
n= 16 focos
Ẋ= 775

Este valor se busca en la tabla de z

Teorema de Limite Central.

Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media y desviación estándar , entonces, cuando n es grande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una media igual a y una desviación estándar de . La aproximación será cada vez másexacta a medida de que n sea cada vez mayor.

El Teorema del Límite Central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande
Si n > 30, se puede usar el TLC

Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ ². Entonces, si n es suficientemente grande, X tiene aproximadamente una distribución normal con μx = μ y σx ² = σ ²/n, y T0tiene también aproximadamente una distribución normal con μT0 = n.μ, σ ²T0 = n.σ ². Cuanto mas grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.
tiene aproximadamente una distribución normal con y . |

Ejemplo
Si se sabe que la dureza Rockwell de pernos de cierto tipo tiene un valor medio de 50 y desviación estándar de 1,5.
a) Si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que ladureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 52?
b) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 52?
x = 50
σ = 1,5
x ≈ N(50; 1,5)
a)
n = 9
x = 52
x ≈ N(50; 1,5.√9)
z = (x - μ)/(σ/√n)
 
La probabilidad de que la media muestral sea superior a 52 es:
P(x ≥ 52) = Þ P(z ≥ 4) = 0Con el valor de z obtenido de tablas:
P(x1 ≤ x ≤ x2) = Þ P(z1 ≤ z ≤ z2) = φ(z)
 
Tener en cuenta que los valores para:
φ(z) = P(z ≤ z1)
b)
n = 40
Con el valor de z obtenido de tablas:
P(x ≥ 52) = Þ P(z ≥ 8,4327) = 0

Distribución Muestral de proporciones
La necesidad de encontrar la proporción, porcentaje o por ciento de una situación dada en una población es tarea frecuente en...
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