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UNIDAD 1: UTILICEMOS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS.

Razones trigonométricas.

Un triangulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (de 90 grados: 90º).

En todo triángulo rectángulo, el lado mayor es la hipotenusa (c). Además, cada ángulo tiene un lado o cateto opuesto (enfrente) y uno adyacente (cercano). Para el ángulo θ mostrado, b es el lado opuesto; y a es el lado adyacente. Ypara β, a es el lado opuesto; y b es el lado adyacente. Además, en todo triángulo la suma de los ángulos internos es 180º: 90º + θ + β = 180º. Y recordando a Pitágoras, se tiene que: a2 + b2 = c2

Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan), cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es la divisiónde un lado entre otro. Para el ángulo θ se tiene que:

Senθ = opuesto/hipotenusa = b/c Cosθ = adyacente/hipotenusa = a/c Cos = 1 / Sec

Tanθ = opuesto/adyacente = b/a Cotθ = adyacente/opuesto = a/b Cot = 1 / Tan

Secθ = hipotenusa/adyacente = c/a Cscθ = hipotenusa/opuesto = c/b Csc = 1 / Sen

Si tomamos elángulo β, obtenemos:

Senβ = opuesto/hipotenusa = a/c Cosβ = adyacente/hipotenusa = b/c

Tanβ = opuesto/adyacente = a/b Cotβ = adyacente/opuesto = b/a

Secβ = hipotenusa/adyacente = c/b Cscβ = hipotenusa/opuesto = c/a

5.2 Razones trigonométricas para ángulos de 30o, 45o y 60o.

Una razón trigonométrica sólo depende de la abertura del ángulo. Para elcaso, el seno de 30º será siempre 0.5 sin importar las dimensiones del opuesto y de la hipotenusa. Partiendo de esto, calculemos las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º. Lo haremos a partir de un triángulo equilátero (aquel que tiene sus tres lados iguales)

Altura

ℓ ℓ

ℓ/2 ℓ/2

Sen30º = opuesto/hipotenusa =(ℓ/2) / ℓ = ½ = 0.5

Cos30º = adyacente/hipotenusa = ℓ 3 = ℓ 3 = 3
2 . 2ℓ 2


Tan30º = opuesto/adyacente = (ℓ/2) / (ℓ√3 /2) = 1/√3

Cot30º = adyacente/opuesto = (ℓ√3 /2) / (ℓ/2) = √3 Cot = 1 / Tan

Sec30º = hipotenusa/adyacente = (ℓ) /(ℓ√3 /2) = 2/√3. Equivale a 2√3 /3 Sec = 1 / Cos

Csc30º = hipotenusa/opuesto = (ℓ) / (ℓ/2) = 2. Csc = 1 / Sen

Por un proceso semejante llegamos a que:

Sen60º = opuesto/hipotenusa = √3
2

Cos60º = adyacente/hipotenusa = 1/2.

Tan60º = opuesto/adyacente = √3

Cot60º = adyacente/opuesto = √3 /3

Sec60º =hipotenusa/adyacente = 2.

Csc60º = hipotenusa/opuesto = 2/√3. Equivale a 2√3 /3.

Para 45º construyamos un triángulo rectángulo con 45º.

ℓ ℓ√2



Sen45º = opuesto/hipotenusa = ℓ/ ℓ√2 = 1/√2. Equivale a √2/2

Cos45º = adyacente/hipotenusa = ℓ/ ℓ√2 = 1/√2. Equivale a √2/2

Tan45º = opuesto/adyacente = ℓ/ℓ = 1

Cot45º = adyacente/opuesto =ℓ/ℓ = 1

Sec45º = hipotenusa/adyacente = ℓ√2 / ℓ = √2.

Csc 45º = hipotenusa/opuesto = ℓ√2 /ℓ = 2.

Ejemplos. 1. Para el triángulo siguiente calcula las 6 razones trigonométricas para β.
2. Se sabe que sen Ω = 7/10, calcula las otras razones trigonométricas de Ω.

4 cm

3 cm

( Solución.
( Apliquemos Pitágoras para encontrar la hipotenusa:(hipotenusa)2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ( Saquemos raíz cuadrada en ambos lados:

√ (hipotenusa)2 = √25

hipotenusa = 5

Sen β = opuesto / hipotenusa = 3/5

Cos β = adyacente / hipotenusa = 4/5

Tanβ = opuesto / adyacente = 3/4

Cot β = adyacente / opuesto = 4/3

Sec β = hipotenusa / adyacente = 5/4

Csc β = hipotenusa / opuesto = 5/3

( Sen Ω = 7 / 10. Como seno = opuesto /...
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