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Definición de límite
Sea una función definida en una vecindad del punto .

  | Definición  |
  | Se dice que , si para cada número positivo , por pequeño que este sea, es posibledeterminar un número positivo , tal que para todos los valores de , diferentes de , que satisfacen la desigualdad , se verificará la desigualdad .   |
|

Luego, si y solo si para cada tal que si ,entonces .
En forma gráfica se tiene:
para cada | existe |
| |
 
tal que si  | entonces  |
| |
|
 
También el puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad sededuce que , entonces todos los puntos en la gráfica de la función con ecuación , que corresponden a los puntos que se localizan a una distancia no mayor que del punto , se encontrarán dentro de unafranja de ancho ,limitada por las rectas , como se muestra en la siguiente figura:

Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente , establece que los valores de la función seaproximan a un límite , conforme se aproxima a un número , sí el valor absoluto de la diferencia entre se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a"b".
Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la definición de límite:
Ejemplo:
a.
Probar que
Solución:
Debe probarse que dado tal que siempre que .
Vamos a establecer unarelación entre .
Como o sea .
Entonces, para hacer menor que , es suficiente que , por lo que puede tomarse .
Luego, dado , existe tal que si entonces .
b.
Probar que
Solución:
Dada , debeencontrarse tal que siempre que .
Como entonces para que sea menor que es suficiente que por lo que podemos tomar .
Luego, dado , existe tal que siempre que .
c.
Probar que
Solución:
Debeencontrarse en términos de , tal que sea menor que cuando . Se tiene que
Como lo que nos interesa es el límite cuando tiende a 1, vamos a considerar los valores de que estén cerca de 1, pero que sean...
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