-Tensor de Tensiones de Cauchy

Ing. Osmer Fernández

Barcelona, mayo de 2012

En este caso se determinará el vector tensión t en función de las componentes
cartesianas de la tensión σij y el vector normal n. Primero, se considera un tetraedro
elemental ubicado alrededor de una partícula con un sistema de coordenadas (x1x2x3)
ubicado sobre la partícula. Considérese un plano oblicuo en estos tres ejes coordenados
quetambién pasa por el punto P. La intersección de este plano con los planos x1x2, x2x3
y x1x3, forma un tetraedro de vértices ABCP.

Figura 1. Un elemento con forma de tetraedro indicando los vectores de tensión en
todas sus caras.
La superficie ABC es una cara del vector normal exterior n en donde un vector tensión
es aplicado.
Nótese que el área del triangulo ABP es una proyección del áreadel triangulo ABC. En
el plano normal de x2 tenemos que:
Area ( ABP ) = Area ( ABC ) cos( n ,x 2 ) = A n 2

Figura 2. Un Tetraedro ABCP indicando los vectores de tensión y normal al área de la
superficie.
La superficie ABC es una cara del normal exterior n en el que se ejerce un vector
tensión t.
De igual forma:

Area ( BCP ) = Area ( ABC ) cos( n ,x3 ) = A n 3

Area ( APC ) = Area (ABC ) cos( n ,x1 ) = A n1
Tomando en cuenta que el cuerpo sometido a la tensión se encuentra en equilibrio se
puede establecer el equilibrio de fuerzas a la cual esta sometido el tetraedro ABCP.

Figura 3. Tetraedro ABCP indicando los vectores de esfuerzos en todas sus caras
Equilibrio de fuerzas en el eje x1

∑ F( ) = 0
i

1

t1 A − σ11 A n1 − σ 21 A n 2 − σ31 A n 3 +

i

1
A hb1 = 0
3

Debido a que el tetraedro tiende a tener el tamaño de un punto, se puede intuir que h →
0, nos queda que:

t1 = σ11 n1 + σ21 n 2 + σ31 n 3
Equilibrio de fuerzas en el eje x2

∑ F2( ) = 0
i

t 2 A − σ12 A n1 − σ 22 A n 2 − σ32 A n 3 +

i

1
A h b2 = 0
3

De la misma manera que se aplico el criterio en F1, nos queda que:
t 2 = σ12 n1 + σ22 n 2 + σ32 n 3

Equilibrio defuerzas en el eje x3

∑ F( ) = 0
i

3

i

t 3 A − σ13 A n1 − σ 23 A n 2 − σ33 A n 3 +

1
A h b3 = 0
3

De la igual forma se aplica el criterio para F3, quedando:
t 3 = σ13 n1 + σ23 n 2 + σ33 n 3
Las expresiones que relacionan las proyecciones cartesianas del vector tensión en una
cara del normal n con las tensiones y las componentes del normal, designadas por las
ecuaciones deCauchy pueden escribirse como:

t1 = σ11 n1 + σ21 n 2 + σ31 n 3
t 2 = σ12 n1 + σ22 n 2 + σ32 n 3
t 3 = σ13 n1 + σ 23 n 2 + σ33 n 3
La forma matricial de la Ecuación de Cauchy para un sistema de coordenadas
rectangulares viene expresada de la siguiente manera:

En notación indicial, se puede expresar la ecuación de Cauchy como:
t i = σ ji n j

Para la deducción de τij = τji seconsiderará el equilibrio de un elemento diferencial en el
entorno de un punto interior de un sólido elástico, formado por un paralelepípedo
infinitesimal cuyas caras son paralelas a los planos coordenados. Las tensiones que
actúan sobre cada una de las caras se muestran en las Figuras 4. a) y b).
Se admite que las componentes de las tensiones son funciones continuas de las
coordenadas del punto enque actúan (hipótesis de medio continuo) y que sus
incrementos se pueden poner en función de las derivadas primeras de las componentes
respecto a dichas coordenadas (hipótesis de pequeñas deformaciones). Si en la cara x =
c actúa la tensión normal σx, en la cara x = c + dx actuará la tensión σx + (∂σx/∂x)dx.
Sobre el elemento diferencial también actuarán las fuerzas de volumen bx, by y bz.
Paraque el elemento esté en equilibrio deben ser nulos las sumatorias de las
proyecciones sobre cada uno de los tres ejes de todas las fuerzas actuantes y las
sumatorias de momentos de todas las fuerzas respecto a cada eje.

Figura 4. Tensiones sobre las caras del paralelepípedo elemental: a) caras vistas y b)
caras ocultas
Considerando positivo el sentido de los ejes que se muestra en la...