Teodolito

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Coordenadas en el plano Poligonal Abierta
Primera versión: 04/01/2006 Última actualización: 04/04/2007

Objetivo: Mostrar como se determina las coordenadas planas compensadas de una poligonal abierta. Se efectuó la medición de una poligonal abierta cuyos datos (lecturas y distancias) se dan a continuación junto con un croquis ilustrativo: X P 129º α 92,12m A 182º Y 281º C B 34º 118,36m 41º 49ºD 301º 130,23m 107,81m E

152º

Determinación de acimutes
Problema: Teniendo como datos las coordenadas planas de los puntos A y P calcular el acimut de la dirección AP (redondear al grado), y luego, mediante la utilización de las lecturas efectuadas con el teodolito, calcular el acimut de arranque de la poligonal y deducir los ángulos de la poligonal (flechas) y el acimut de cada lado.Nota: utilizar la siguiente nomenclatura: ej. acimut de la dirección AB = (AB)

X A = 368,90m YA = 428, 21m

X P = 425, 22m YP = 448, 71m

Solución: Para dar coordenadas a los puntos de la poligonal en un determinado marco de referencia es necesario disponer de alguno de los siguientes elementos: i) ii) Un punto de coordenadas conocidas en ese marco y el acimut de alguna dirección para orientarla poligonal en ese marco, Dos puntos con coordenadas conocidas en ese marco, de los cuales se calculará el acimut de arranque

En este caso disponemos de dos puntos de coordenadas conocidas, uno de los cuales no pertenece a la poligonal, lo que me permite reducir el problema al ítem i), es decir, con las coordenadas de los puntos A y P calculo el acimut de la dirección AP que denotaremos (AP).Pasamos a determinar el acimut de la dirección AP:

⎛ Y −Y ⎞ ( AP ) = arctg ⎜ P A ⎟ ⎝ XP − XA ⎠ ⎛ 448, 71 − 428, 21 ⎞ ( AP ) = arctg ⎜ ⎟ ⎝ 425, 22 − 368,90 ⎠ ( AP ) ≈ 20º
Con las lecturas efectuadas a los puntos P y B determinamos el acimut de arranque de la poligonal: Angulo α = dir AB - dir AP = 182º - 152º = 30º Acimut de la dirección AB: (AB) = (AP) + α = 20º + 30º = 50º La determinaciónde los ángulos internos de la poligonal se efectúa mediante las lecturas tomadas en el campo con teodolito; sabiendo que el limbo aumenta su graduación en sentido horario, mediante la diferencia de lecturas se obtiene el ángulo deseado, que en el caso de una poligonal abierta es el formado por los lados en sentido horario mirando hacia el avance. Los ángulos deducidos serían: B = 360º - (dir BA –dir BC) = 360º - (129º - 34º) = 265º C = 360º - (dir CB – dir CD) = 360º - (281º - 41º) = 120º D = dir DE – dir DC = 301º - 49º = 252º Una vez que conocemos el acimut de arranque, en nuestro caso el acimut del lado AB, y los ángulos de la poligonal, pasamos a calcular el acimut de los otros lados de la misma. El mecanismo general es sencillo: Acimut del lado (i, i+1) = acimut del lado (i-1, i) –180º + ángulo i En nuestro ejemplo, para calcular el acimut del lado BC, denotado como (BC), sería de la siguiente manera: Acimut del lado BC = acimut del lado AB – 180º + ángulo B, que con la notación correspondiente se escribe: (BC) = (AB) – 180º + B = 50º - 180º + 265º = 135º Para el resto de los lados: (CD) = (BC) – 180º + C = 135º - 180º + 120º = 75º (DE) = (CD) – 180º + D = 75º -180º + 252º =147º

Determinación de coordenadas provisorias
Problema: Calcular los incrementos ΔX y ΔY para cada lado de la poligonal adoptando el sistema de ejes de la figura, y en base a ellos determinar las coordenadas provisorias de los puntos B, C, D y E completando la planilla adjunta (redondear valores al centímetro) Solución: Mediante operaciones trigonométricas y adoptando el sistema de ejes de lafigura determinamos las fórmulas generales para calcular los incrementos ΔX y ΔY:

ΔX i ,i +1 = lado(i, i + 1) cos(i, i + 1) ΔYi ,i +1 = lado(i, i + 1) sen(i, i + 1)
Con éstas fórmulas calculamos los incrementos:

ΔX AB = AB cos( AB) = 92,12m cos 50º = 51, 29m ΔYAB = ABsen( AB) = 92,12msen50º = 70,57 m ΔX BC = BC cos( BC ) = 118,36m cos135º = −83, 69m ΔYBC = BCsen( BC ) = 118,36msen135º =...
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