Teoría de véctores - álgebra lineal

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES

1. VECTORES Y MATRICES
• 1.1. Definición de vector. Operaciones elementales • 1.2. Matrices. Operaciones elementales • 1.3. Traza y Determinante • 1.4. Aplicaciones

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES
1.1.1. Definición de Vector. 1.1.2. Operaciones elementales. 1.1.3. Combinaciones lineales. Dependencia IndependenciaLineal

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES 1.1.1. CONCEPTO DE VECTOR a) SEGMENTO ORIENTADO B

B

A

A

ELEMENTOS DE UN VECTOR:

MÓDULO: longitud del segmento DIRECCIÓN : recta que contiene al segmento SENTIDO: orientación

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES 1.1.1. CONCEPTO DE VECTOR b) VECTOR LIBRECONSIDEREMOS SEGMENTOS ORIENTADOS CON MISMO MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO ¿qué característica tienen en común?

y

x Componentes del vector

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES 1.1.1. CONCEPTO DE VECTOR c) ESTRUCTURA DE DATOS: COMPONENTES

MÓDULO DE UN VECTOR

Ejemplo: Calcular el módulo de (3,5), (2,-7), (1,5,8) COMPONENTES DE UN VECTOR A PARTIR DESUS EXTREMOS

Ejemplo: Dados los puntos A(1,5), B(2,7), C(3,8) determinar las componentes de los vectores

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES 1.1.1. CONCEPTO DE VECTOR : EJERCICIOS
1. Calcula el módulo de los siguientes vectores: a) (3,7) b) (8,3,-2) c) (-3,1,0) d) (3,2,1/2,1/2)

2. Determina las componentes de los vectores indicados, a partir delos puntos señalados: a) A(1,3) B(6,-7) vector: c) E(1,8,-4) F(3,7,1) vector 3. Dados los vectores de componentes indicadas, y del extremo inicial, determina las coordenadas del extremo final: a) b) c) = b) C(3,2,1) D(6,-1,7) vector

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES 1.1.2. OPERACIONES CON VECTORES A) SUMA DE VECTORES

DEFINICIÓN: Sean ������ =������1 , ������2 , … , ������������ ������ + ������ = ������1 + ������1 , ������2 + ������2 , … , ������������ + ������������

������ = ������1 , ������2 , … , ������������ , se define el vector suma

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES 1.1.2. OPERACIONES CON VECTORES B) DIFERENCIA DE VECTORES

DEFINICIÓN: Sean ������ = ������1 , ������2 , … , ������������ ������ =������1 , ������2 , … , ������������ , se define el vector diferencia ������ − ������ = ������1 − ������1 , ������2 − ������2 , … , ������������ − ������������

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES 1.1.2. OPERACIONES CON VECTORES C) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

DEFINICIÓN: Sean ������ = ������1 , ������2 , … , ������������ y k un número real, sedefine el producto del escalar k por el vector ������, como ������������ = ������������1 , ������ ������2 , … , ������ ������������

EJEMPLO: Dados los vectores
������ = 2,5 ������ ������ = (1,3) calcula a) 2������ − 3������ b) 5������ + 1/2������ c) 5������ − ������

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES 1.1.2. OPERACIONES CON VECTORES D) PROPIEDADESDE LA SUMA DE VECTORES

Sean ������, ������ , ������ ∈ ������������ se verifican las siguientes propiedades: 1) CONMUTATIVA: ������ + ������ = ������ + ������ 2) ASOCIATIVA: ������ + ������ + ������ = ������ + (������ + ������) 3) EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO: Existe un vector de ������������ llamado VECTOR NULO 0 = (0, … ,0) que verifica: ������ + 0 = 0 + ������ = ������ 4) TODO VECTOR TIENEOPUESTO. Todo vector ������ ∈ ������������ tiene un vector opuesto ������ = −������ tal que ������ + −������ = 0
EJEMPLO: Comprobar: 1) (1,3)+(5,2)=(5,2)+(1,3) 2) ((1,4)+(3,5))+(0,-3)=(1,4)+((3,5)+(0,-3)) 3) (3,2)+(0,0)= 4) (6,-7) +(-6,7)=

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1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES 1.1.2. OPERACIONES CON VECTORES E) PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE...