Teoría de juegos

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En teoría de juegos, la forma normal es una forma de describir un juego. A diferencia de la forma extensiva, las representaciones en forma normal no son grafos, sino matrices. Esto puede ser de gran utilidad a la hora de identificar estrategias estrictamente dominantes y equilibrios de Nash. Por otra parte se pierde algo de información si la comparamos con la forma normal, pues ésta incluye todaslas estrategias de cada jugador junto con sus recompensas.

En juegos estáticos de información completa y perfecta, una forma normal de representación de un juego es una especificación de los espacios de estrategia de los jugadores y las funciones de recompensa. Un espacio de estrategia de un jugador es el conjunto de estrategias disponibles para ese jugador, mientras que una estrategia es unplan completo de acción para cada situación del juego, sin tener en cuenta si esa situación se da realmente en el juego. Una función de recompensa de un jugador es una correspondencia entre el producto cruzado de los espacios de estrategia de los jugadores y el conjunto de recompensas del jugador (normalmente, el conjunto de los números reales, donde el número representa una utilidad ordinal ocardinal - a menudo cardinal) de un jugador, por ejemplo la función de recompensa de un jugador toma como entrada un perfil de estrategia (es decir, la especificación de las estrategias de cada jugador) y da lugar a una representación de la recompensa a su salida.

Formulación general

Para que un juego esté representado en forma normal, tienen que cumplirse los siguientes requisitos:

Hayun conjunto finito P de jugadores {1, 2,..., m}

Cada jugador k de P tiene un número finito de estrategias puras.

S_k = \{1, 2, \ldots, n_k\}.

Un perfil de estrategia pura es una asociación de estrategias con jugadores, que es una m-tupla

\vec{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2, \ldots,\sigma_m)

tal que

\sigma_1 \in S_1, \sigma_2 \in S_2, \ldots, \sigma_m \in S_mLlamamos al conjunto de perfiles de estrategia Σ

Una función de recompensa es una función

F: \Sigma \rightarrow \mathbb{R}.

cuya interpretación es el premio que recibe cada jugador al final del juego. De acuerdo con esto, para especificar por completo un juego, la función de recompensa tiene que especificarse para cada jugador del conjunto de jugadores P={1, 2,..., m}. El juego esentonces una función

\pi\ : \prod_{i\in \mathrm{N}} \Sigma\ ^i \to \mathbb{R}^\mathrm{N}

Definición: Un juego en forma normal es una estructura

(P, \mathbf{S}, \mathbf{F})

donde P = {1,2,...,m} es un conjunto de jugadores,

\mathbf{S}= (S_1, S_2, \ldots, S_m)

es una m-tupla de conjuntos de estrategias puras, una para cada jugador, y

\mathbf{F} = (F_1, F_2,\ldots, F_m)

es una m-tupla de funciones de recompensa.

No hay ninguna razón para excluir juegos que tienen un número infinito de jugadores o un número infinito de estrategias por jugador. Sin embargo, el estudio de los juegos infinitos es más difícil, pues requiere usar técnicas de análisis funcional.

Una generalización adicional puede ser lograda dividiendo el juego en dos funciones: la"forma normal del juego", que describe la manera en que las estrategias definen eventos, y una segunda función, que ilustra las preferencias del jugador sobre el conjunto de eventos. Así:

\pi\ : \prod_{i \in \mathrm{N}} \Sigma\ ^i \to \Gamma\

donde \Gamma\ es el conjunto de eventos del juego. Y para cada jugador i\in \mathrm{N} hay una función de preferencia

\nu\ ^i : \Gamma\ \to\mathbb{R} .

[editar] Referencias

R. D. Luce y H. Raiffa, Games and Decisions, Dover Publications, 1989.

J. Weibull, Evolutionary Game Theory, MIT Press, 1996

J. von Neumann y O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, John Wiley Science Editions, 1964. Publicado inicialmente por Princeton University Press en 1948.

Referencias generales

Bierman, H....
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