Teorema de bayes, distribuciones de probabilidad

Teorema de Bayes
(Thomas Bayes)

Es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el conjunto total y tales que la probabilidadde cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B|Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai|B) viene dada por la expresión:

donde: 

P(Ai) son las probabilidades a priori. 

P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai. 

P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.

Cuando se da el uso de mas términos seutiliza la formula:

Las aplicaciones del teorema de Teorema de Bayes son infinitas, y no exentas de grandes polémicas. El problema radica es que al decir “B ha ocurrido” se puede pensar que es un hecho determinístico, y por lo tanto no tiene objeto calcular la probabilidad Pr(B), es decir si B ha ocurrido entonces Pr(B) = 1. No obstante, el problema cambia radicalmente si uno expresa “si Bocurre”, y esta es la interpretación correcta. Por otro lado, las probabilidades asociadas a los eventos Ai son de tipo a priori, y que a veces de manera arbitraria deben asignarse puesto que no se tiene información sobre el “pasado”, y que se espera que van a ser “mejoradas” con la información que puede entregar el suceso B, de hecho las probabilidades Pr(Ai / B) son llamadas a posteriori.

Ejemplo1:Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida porla máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
Solución:
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,P(D)=P(A)·P(D/A)+P(B)·P(D/B)+P(C)·P(D/C)
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

Ejemplo 2:
Tenemos tresurnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Solución:
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de lossucesos R o N para cada una de las tres urnas.
La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

Clasificación de las distribuciones de probabilidad

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas .Si embargo, envez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro.
Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porquepuede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado estotalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

•Variable aleatoria discreta (x). 

Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por...