Teorema de bayes

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Teorema de Bayes
Si A 1, A 2 ,... , An son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:

Las probabilidadesp(A1) se denominan probabilidades a priori.
Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.
Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

El reverendo ThomasBayes jamás pensó que con su famoso teorema iba a dejar la "reverenda" (*). Alabado por unos, aquellos en que le favorece el teorema en la corte judicial, y denostado por otros, los que son declaradosculpables luego de las pruebas "objetivas" de confesión de culpabilidad o la prueba de la "huella genética". No es por nada que existe una cofradía de "estadísticos bayesianos" que gozan de excelentesalud en el campo de la investigación matemática; cofradía que a veces incursionamos cuando tocamos temas de la estadística forense. Podemos ver uno de sus pocos retratos que tenemos de Thomas Bayes (quedicho sea de paso no le favorecen mucho), y que se encuentra en la columna derecha.
Veamos ahora una versión simple del teorema de Bayes.
Supongamos que para un todos los posibles resultados deun fenómeno aleatorio, existen dos escenarios que son antagónicos y complementarios. Es decir que puede ocurrir el escenario A, o el escenario complementario Å, donde la unión de ambos cubre todos losposibles resultados. Para ambos escenarios, tenemos definida una probabilidad, a saber P(A) y P(Å), donde obviamente
P(A) + P(Å) = 1
Supongamos que B, es otro suceso de tal forma que lasprobabilidades condicionales
P(B / A) y P(B / Å)
son conocidas. De otra forma se conoce, en virtud de la ley de probabilidad total, la probabilidad de B, puesto que
P(B) = P(B / A) P(A) + P(B / Å) P(Å)Entonces, las probabilidades
P(A / B) y P(Å / B)
llamadas "a posteriori" se pueden calcular mediante
P(A / B) = P(B / A) P(A) / P(B)
P(Å / B) = P(B / Å) P(Å) / P(B)
Thomas BAYES (1702 - 1761)...
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