Teorema De Bayes

El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Contenido[ocultar] * 1 Teorema * 2 Aplicaciones * 3 Véase también * 4Enlaces externos |
Teorema [editar]
Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:

donde:
* P(Ai) son las probabilidades a priori.* P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
* P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
Esto se cumple

Además, unido a la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

Aplicaciones [editar]
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay unacontroversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidadessubjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que sonfrecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.

TEOREMA DE BAYES

DEFINICIÓN
El Teorema de Bayes, dentro de la teoría probabilística, proporciona la distribución de probabilidad condicional de un evento "A" dado otro evento "B" (probabilidad posteriori), en función de ladistribución de probabilidad condicional del evento "B" dado "A" y de la distribución de probabilidad marginal del evento "A" (probabilidad simple o apriori).
Partiendo de las fórmulas de probabilidad condicional y probabilidad conjunta para eventos estadísticamente dependientes se procederá a enunciar el Teorema de Bayes.
Sean , ... eventos mutuamente excluyentes tales que, cualquier evento “B”en el espacio muestral pertenece a uno y sólo a uno de estos evento. Entonces la probabilidad de que ocurra cualquier evento dado que ha ocurrido el evento “B” se calculará por la siguiente fórmula:

Por lo tanto, sustituyendo la fórmula de probabilidad condicional, se obtiene la fórmula general para el Teorema de Bayes:

Donde:
* El numerador es la probabilidad conjunta:
* Eldenominador es la probabilidad marginal de que ocurra el evento “B”

Como "A" y "B" son eventos estadísticamente dependientes, el Teorema de Bayes se puede representar también utilizando el diagrama de árbol.

Sea  un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,
             = A1A2A3.....An
A1
A2
A3
A4
An

B
|
| |Luego si ocurre un evento B  definido en , observamos que;
                          B = B = (A1A2A3.....An)B = (A1B)(A2B)(A3B).....(AnB)
Donde cada uno de los eventos AiB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que
                        p(B) = p(A1B) + p(A2B) + p(A3B) +......+ p(AnB)
y como la p(AiB) = p(Ai)p(BAi) ,  o sea que la probabilidad de que ocurra el evento...