Teorema de bayes

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[pic] Teorema de Bayes

Las formulas de Bayes nos permiten calcular la probabilidad condicional de un evento cualquiera perteneciente a una familia de eventos exhaustivos y mutuamente excluyentes,si sabemos que ha ocurrido un evento B del espacio, siempre que P(Ai) y P(B/Ai) sean conocidas.

Para obtener estas formulas supongamos que tenemos n eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos A1,A2, A3, ... , An y sea B un evento definido en el mismo espacio muestral. De acuerdo con la definición de probabilidad condicional.

[pic]
Pero:
[pic]=[pic]P(Ai) de acuerdo con la regla de lamultiplicación. Además la formula de la probabilidad total nos permite escribir:

[pic]
sustituyendo obtenemos:

[pic] [pic]

Que son las fórmulas de Bayes para el calculo de laprobabilidad condicional.

Ejemplo:

Dos fabricas producen lámparas eléctricas. La primera proporciona el 70% y la segunda el 30% de la producción total. Por otra parte, se sabe que el 83% de laslámparas suministradas por la primera fabrica se ajusta a las normas establecidas , mientras que sólo el 63% de las producidas por la segunda, se ajusta a dichas normas. Calcular la probabilidad de que unalámpara haya sido producida por la primera fábrica, si se sabe que se ajusta a las normas .

De acuerdo con los eventos siguientes:

A1: Lámparas producidas por la primera fabrica.
A2: Lámparasproducidas por la segunda fabrica.
B: Lámparas que se ajustan a las normas.

La probabilidad que deseamos calcular es:

P(A1 / B)

Sabemos que:

[pic]

además:

[pic]= [pic]P(A1)[pic]

Según las reglas de la multiplicación y la probabilidad total.

Sustituyendo:

[pic]

Observe que el planteamiento anterior no es mas que una formula de Bayes aplicada a este problema.Sustituyendo los valores de probabilidad obtenemos:

[pic] [pic]

Las formulas de Bayes resultan de utilidad cuando un evento B puede ocurrir bajo una de las hipótesis A1, A2, ... , An, de...
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