Teorema de bayes

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“PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD”


19 DE OCTUBRE DE 2010

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Un proceso estocástico(finito) es una sucesión finita de experimentos en donde cada experimento tiene un número finito deresultados con probabilidades dadas. Una forma conveniente de describir ese proceso es mediante un diagrama de árbol rotulado. El teorema de multiplicación de la probabilidad condicional puede ser utilizado para calcular la probabilidad de un evento representado por una trayectoria determinada.

EJEMPLO Supongamos que se dan tres cajas con muestras de ADN para detectar defectos genéticos, pero ocurreque algunas muestras se dañaron. siguientes:

La caja X tiene 10 muestras de las cuales 4 están dañadas.
La caja Y tiene 6 muestras de las cuales 1 están dañadas.
La caja Z tiene 10 muestras de las cuales 4 están dañadas.

Se escoge una caja al azar y luego se selecciona aleatoriamente una muestra de la caja escogida.

(a) Encuentre la probabilidad p de que la muestra no esté dañada.(b) Si la muestra no está dañada, encuentre la probabilidad de que esta provenga de la caja Z.

Aquí se realiza una secuencia de dos experimentos:

(i) Seleccione una de la tres cajas.
(ii) Seleccione una muestra que esté dañada(D) o no dañada(N).

(a) Puesto que hay tres trayectorias mutuamente excluyentes que conducen a una muestra no dañada N, la suma de las probabilidades deestas trayectorias no da la probabilidad requerida:
(b) Aquí se desea calcular , la probabilidad condicional de la caja Z dado una muestra no dañada N.

Por (a), . En forma consecuente, por la definición de probabilidad condicional.

En otras palabras, se divide la probabilidad de la trayectoria exitosa con la probabilidad del espacio muestral reducido que conducen a todas latrayectorias que conducen a N.

PARTICIONES , PROBABILIDAD TOTAL Y FÓRMULA DE BAYES

Supongamos que un conjunto S es la unión de subconjuntos mutuamente excluyentes A1, A2,…AN; es decir A1, A2,…AN forman a partición de un conjunto S. Además, suponga que E es cualquier subconjunto de S. Como se ilustra en la figura.

Además los n subconjuntos de la derecha en la ecuación anterior, son mutuamenteexcluyentes , es decir, forman una partición de E.

Ley de la probabilidad total

Ahora supongamos que S es un espacio muestral y los subconjuntos anteriores A1, A2,…AN , E son eventos. Puesto que son mutuamente excluyentes, se obtiene

Utilizando el teorema de multiplicación para la probabilidad condicional, se obtiene también

Por lo tanto se llega al siguiente teorema:

Sea un eventoE en un espacio muestral S y sean A1, A2,…AN mutuamente excluyentes cuya unión es S. Entonces

TEOREMA DE BAYES

Supongamos que los eventos A1, A2,…AN , forman una partición del espacio muestral S y E es cualquier evento. Entonces, para k=1,2,…,n, el teorema de multiplicación para la probabilidad condicional nos dice que . Por tanto:

Utilizando la ley de probabilidad total para eldenominador P(E). Se llega al siguiente teorema.

La ecuación anterior se llama regla de Bayes, siguiendo el nombre del matemático ingles Thomas Bayes (1702/1761). Si se piensa en los eventos A1, A2,…AN , como causas posibles del evento E, entonces la fórmula de Bayes nos permite determinara la probabilidad de ocurrencia de un A particular dada la ocurrencia de E.

EJEMPLO

En una enlatadora, laslíneas de ensamblaje I, II y III representan, respectivamente, el 37, el 42 y el 21% de la producción total. Si el 0.6% de las latas de la línea de ensamblaje I son selladas en forma inadecuada, mientras que los porcentajes de las líneas de ensamblaje II y III son 0.4 y 1.2%, ¿cuál es la probabilidad de que una lata sellada en forma inadecuada provino de la línea de ensamblaje III?

Solución:...
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