Teorema de bayes

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Teorema de Bayes.
En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de lascausas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.
Teorema de Bayes
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo desucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) vienedada por la expresión:


En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, esaconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.
Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezasproducidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b.Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada piezadefectuosa?
Solución:
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
a. Para calcular la probabilidadde que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,
P(D) = P(A) • P(D/A) + P(B) • P(D/B) + P(C) • P(D/C) =
= 0.45 • 0.03 + 0.30 • 0.04 + 0.25 • 0.05 = 0.038b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,


c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:


La...
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