Teorema De Bayes

Páginas: 6 (1363 palabras) Publicado: 24 de mayo de 2012
UNIVERSIDAD POLITECNICA DE SAN LUIS POTOSI |
TEOREMA DE BAYES |
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Teorema de Bayes
En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichasprobabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.
Teorema:
Si B1, B2, y Bk son eventos mutuamente excluyentes de los cuales debe ocurrir uno, entonces:

Ejemplo:
En un estado en el que se deben hacer pruebas de emisión de contaminantes a los automóviles, 25% de todos los automóviles emite cantidades excesivas de contaminantes. Cuando se prueban, 99% de todos los automóviles que emitencantidades excesivas de contaminantes no pasará, pero el 17% de los automóviles que no emiten cantidades excesivas de contaminantes tampoco pasará. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD QUE DE UN AUTOMÓVIL QUE NO PASA LA PRUEBA EN REALIDAD EMITA CANTIDADES EXCESIVAS DE CONTAMINANTES?
Suponiendo que:
* A representa el evento de que un automóvil no pasa la prueba
* B es el evento que emite cantidadesexcesivas de contaminantes
Podemos expresarlo como:
* P(B)=0.25 P(AΙB)=0.99 P(AΙB’)=0.17
* Primero determinamos P(A)

Ya que las dos ramas son mutuamente excluyentes, encontramos que
P(A)= 0.2475+0.1275=0.3750
y la sustitución en la fórmula para P(BΙA) da como resultado:
(0.25)*(0.99)/0.3750= 0.66
Esta es la probabilidad de que un automóvil que no pasa la prueba en realidademita cantidades excesivas de contaminantes.
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?Conclusión:
El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información.
Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular lasprobabilidades a posteriori y es:

Taller:
EJEMPLO 1
En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses.Determine la probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.
En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesoscondicionados.
a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:
 
b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidadcondicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

EJEMPLO 2
Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero...
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