Teorema de Bayes

TEOREMA DE BAYES
La probabilidad condicional se basa en el resultado de un hecho para describir otra
probabilidad específica.
Este concepto de puede extender cada vez que se tiene nueva información con la cual
determinar si una probabilidad se debe a una causa específica.
Este procedimiento recibe el nombre de Teorema de Bayes y se maneja así:
Si A es un evento simple y Bi es una sucesiónde eventos, la probabilidad de que se cumpla el
evento Bi dado que ya se cumplió el evento A es:
P( Bi / A) 

P( A / Bi ) P( Bi )
P( A / B1 ) P( B1  P( A / B2 ) P( B2 )  ...  P( A / Bn ) P( Bn )

Ejemplos:
1. El gerente de mercadotecnia de una compañía fabricante de juguetes estudia el
lanzamiento de un juguete nuevo. En el pasado, el 40% de los juguetes introducidos por la
compañíahan tenido éxito y 60% han fracasado.
Antes de lanzar el nuevo juguete se realiza un estudio de mercado y se hace un informe, ya sea
favorable o desfavorable. En el pasado, 80% de los juguetes con éxito tenían un informe
favorable y 30% de los juguetes que fracasaron tenían un informe favorable. El gerente de
mercadotecnia quiere conocer la probabilidad de que el juguete tenga éxito si recibeun
reporte favorable.
Análisis previo
¿Qué se busca? :
La probabilidad de que el juguete tenga éxito.
¿Qué condiciones tenemos? :
Resultados de un informe favorable:
P(Éxito/Favorable)
Juguetes con éxito
Juguetes con fracaso

: 40%
: 60%

P(éxito)
P(fracaso)

= 0.4
= 0.6

Datos del pasado:
Juguetes que tuvieron éxito y previamente les habían reportado un informe favorable 80%
Juguetes que fueron un fracaso y previamente les habían reportado un informe favorable 
30%
Juguetes que tuvieron éxito y previamente les habían reportado un informe favorable 
80%
P(Éxito/Favorable) =

0.8

Juguetes que fueron un fracaso y previamente les habían reportado un informe favorable 
30%
P(Fracaso/Favorable)

=

0.3

Propósito
La aplicación del teorema de Bayesindica que se busca la probabilidad de que un juguete sea
un éxito, siendo que el dictamen que se tiene es favorable; el enunciado es el siguiente:
P(Éxito/Favorable) =



P( Favorable / Éxito ) P( Éxito )
P( Favorable / Éxito ) P( Éxito )  P( Favorable / Fracaso) P( Fracaso)

Desarrollo


P( Favorable / Éxito ) P( Éxito )
P( Favorable / Éxito ) P( Éxito )  P( Favorable / Fracaso)P( Fracaso)



(0.8)(0.4)
(0.8)(0.4)  (0.3)(0.6)



(0.32)
0.32

 0.64  64%
(0.32)  (0.18) 0.5

2. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las
piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas
máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que seadefectuosa.
b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber
sido producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza
defectuosa?
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema
puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

0.03
N
A

0.970.45

D

0.04
B

Solución

0.96

a. Para calcular
la probabilidad
de que la pieza
elegida sea
defectuosa,
P(D), por la
propiedad de la probabilidad total,

N
C

0.05

D
0.95

N

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 =
0.038
b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
P  B / D 

P( B)  P  D / B P( A)  P  D / A   P( B)  P  D / B   P(C )  P  D / C 



0.30  0.04
12

 0.316  0.32
0.45  0.03  0.30  0.04  0.25  0.05 38

Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el
Teorema de Bayes, obtenemos:
0.45  0.03
135

 0.355  0.36
0.45  0.03  0.30  0.04  0.25  0.05 380
0.25  0.05
125
p C / D  

...