Teorema de betty

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TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad)

De la relación del Trabajo con funciones cuadráticas de las fuerzas y deformaciones, ratificamos lo ya señalado en el tema (1-2) de que no es aplicable el Principio de Superposición y por lo tanto el trabajo de deformación de varias fuerzas no es igual a la suma de los trabajos de cada una de ellas por separado.

Supongamos que sobre un cuerpo actúa unsistema de fuerzas P que produce deformaciones δ y una energía de deformación U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P está formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos PΙ y PΙΙ

P = PΙ + PΙΙ

Si δΙ es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga PΙ y δΙΙ es el correspondiente a las cargas PΙΙ se cumplirá:

δ = δΙ + δΙΙ

Cualquiera sea elorden en que se aplican las fuerzas

P; δ producen Te = U y veamos de aplicar las cargas P de dos formas distintas:

a) Primero PΙ y luego PΙΙ

U =UΙΙ +UΙΙ ΙΙ + UΙ ΙΙ (a)

Donde Ui, j representa el valor de la energía o trabajo externo de las cargas Pi a lo largo de los desplazamientos debido a las cargas Pj (i y j con valores Ι y ΙΙ)

b) Primero PΙΙ y luego PΙ

U =UΙΙ ΙΙ +UΙΙ + UΙΙ Ι (b)

Como los dos estados finales son iguales, también lo serán los Trabajos finales y de igualar las expresiones de a) y b) obtendremos:

UΙ ΙΙ = UΙΙ Ι

O sus iguales:

TeΙ ΙΙ =TeΙΙ Ι

Expresión del Teorema de BETTI:

“El trabajo de un estado de cargas en equilibrio PΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio PΙΙ es igual altrabajo de las cargas PΙΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por PΙ.”

A estos trabajos se los denomina recíprocos o indirectos.

Una aplicación teórica a una viga permite explicitar el significado de las expresiones:

[pic]

[pic]

TEOREMA DE MAXWELL

Este Teorema tratado aquí como un caso particular del Teorema de Betti fue enunciado con anterioridad a este último.Betti solo generalizo las conclusiones a que había llegado Maxwell.

En la figura siguiente de una viga tenemos dos estados de carga y deformaciones, con la salvedad que ambos estados de cargas son unitarios.

[pic]

“El valor del corrimiento de un punto 1 según una cierta dirección P1 debido a una fuerza unitaria aplicada en 2 según una dirección P2, es igual al valor del corrimiento en 2 segúnla dirección P2, provocado por una fuerza unitaria aplicada en 1 según una dirección P1”.

Mencionamos específicamente el “valor”, pues como se aprecia en el ejemplo, la igualdad no incluye a las unidades, pues δ12 es un desplazamiento que se mide en unidades de longitud y δ21 es un ángulo que se mide en radianes, ya que cuando hablamos de corrimientos entendemos tanto a un desplazamientolineal como una rotación, dependiendo del tipo de vector carga con el que se evalúa el trabajo. En otras palabras es un “corrimiento correspondiente” como ya que fue mencionado en 1-5 y por lo tanto el vector carga es colineal con el vector corrimiento.

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

El principio tratado de diversas formas en la bibliografía es una herramienta poderosísima para laestática y los corrimientos de los cuerpos rígidos o deformables a tal punto que las condiciones de equilibrio o de la estática pueden ser demostradas si se acepta este Principio, o por el contrario, a partir de las condiciones de equilibrio el Principio de los Trabajos Virtuales puede ser demostrado. Con otras palabras podemos decir que si un cuerpo está en equilibrio cumplirá con el P.T.V. o por elcontrario si el cuerpo cumple con este Principio necesariamente está en equilibrio.

En la Mecánica Racional se enuncia como:

“En una partícula en equilibrio bajo un sistema de fuerzas, el trabajo de dichas fuerzas a lo largo de un desplazamiento virtual es nulo “Explicitemos que definimos como “desplazamiento virtual a un desplazamiento ideal, arbitrario, pequeño y compatible con los...
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