Teorema De Bolzano

Teorema de Bolzano. Teorema de las raíces
|[pic] |- Si f es una función continua en el intervalo [a,b] |
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| |- Toma valores de signoopuesto en los extremos f(a) y f(b) |
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| |- Entonces existe al menos una raíz de f en (a,b), es decir, existe un punto c del intervalo (a,b) en el que f(c) |
||=0. |
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| |*** Observa la figura, para que ocurra esto la gráfica de la función corta al eje OX,pasando de un punto situado |
| |por debajo de él a otro que se encuentra por encima, o viceversa. |


Ejemplos
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TEOREMA DE BOLZANO Y MÉTODO DE LA BISECCIÓN PARA LOCALIZAR LAS RAICES DE UNA FUNCIÓN
1. ENUNCIADO DEL TEOREMA
Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos delintervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c ∈ (a, b) para el que se cumple: f(c) = 0.
Es decir: si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], y los valores en los extremos del intervalo tienen signos distintos, entonces podemos asegurar la existencia de al menos una raiz de la función en el intervalo abierto(a, b).
Ejemplo1: La función que aparece representada a continuación es continua en el intervalo [3, 6.2] y f(3) < 0 mientras que f(6.2) >0. Como se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano queda garantizada la existencia de al menos un valor c en el que f(c) = 0, es decir en el que la gráfica corta al eje de abcisas. En este ejemplo concreto existen exactamente tres valores (c1, c2 y c3) quecumplen la tesis del teorema. (A los valores c1, c2 y c3 se les llama raices o ceros de la función f(x) en el intervalo en cuestión). (La función representada es: f(x) = sen(2x) - 2cos(x/3))
 
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2. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El teorema de Bolzano tiene una interesante aplicación en la localización de las raices o ceros de una funcion continua. Consiste en lo siguiente: buscamos por tanteo dosvalores "a" y "b" para los que la función tome signos opuestos. Si conseguimos encontrar dos valores que cumplan la condición anterior, por ejemplo f(a) < 0 y f(b) > 0, y, además, la función es continua en I = [a, b], queda garantizada por el teorema de Bolzano la existencia en el intervalo (a, b) de al menos una raiz. Si ahora tomamos el punto medio del intervalo (x = (a + b)/2) la función en esepunto puede tomar el valor 0, en cuyo caso ya tendríamos localizada una raiz, o bien en (a + b)/2 toma un valor positivo o negativo. Si f((a + b)/2) < 0, nos fijaríamos ahora en el intervalo
I1 =[(a + b)/2, b] en el que la función es continua y en cuyos extremos toma valores de signos opuestos. El teorema de Bolzano garantiza así la existencia de al menos una raiz en ese intervalo I1 de longitud lamitad de la longitud del intervalo inicial. (Si f((a + b)/2)>0 I1=[a, (a +b)/2]. Se repite el mismo proceso con el intervalo I1, con lo que vamos obteniendo intervalos cada vez más pequeños, dentro de los cuales sabemos que existe una raiz. Podemos así hallar el valor de esa raiz con la aproximación deseada.
TEOREMA DE BOLZANO Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma...