Teorema de cauchy

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1.- ¿QUÉ SIGNIFICA LA INTEGRAL…
∫_r▒dz/(z-z_0 )
r(z)=z_0+e^it 0≤t≤2π

Si z es analítica, que se tiene una integral sobre una curva cerrada.

2.-TEOREMA DE CAUCHY
El teorema deCauchy es uno de los resultados más importantes del cálculo de variable compleja.
Sea Ω un dominio en R en C y sea f:Ω→ C una función analítica en R tal que f ’ es continua en R. Sea c una curva y suregión interior estén contenidas en R. Entonces:
∮_c▒〖f(z)dz=0〗
En sí, si f (z) es analítica sobre un contorno cerrado C y su interior, entonces
Sea R la región cerrada formada por C y suinterior. Sea f(z) = u(x,y) + i v(x,y)
Por ser f(z) analítica en R, las u y v son continuas, derivables y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann en R.
Si añadimos que f´(z) sea continua en R,entonces las derivadas de u, v son continuas en R.
Es
Y por ser u, v continuas y con derivadas continuas en R es aplicable el teorema de Green-Riemann a cada una de las integralescurvilíneas reales. Resulta:

Y por cumplirse las condiciones de Cauchy-Riemann:
; ,
Resulta:


Corolario 1.
Sea R un dominio simplemente conexo y f una función analítica en R tal que f’ escontinua en R. Entonces las integrales de f son independientes del camino seguido en R.

Corolario 2.
Sea R un dominio simplemente conexo y f una función analítica en R tal que f’es continua en R.Entonces f tiene funciones primitivas en R.
La hipótesis de que la derivada de la función f sea continúa en R, que se usa para poder
Aplicar el Teorema de Green, no es realmente necesaria; basta con quef’ exista para que la tesis del teorema se mantenga (y entonces se conoce como Teorema de Cauchy-Goursat, cuya demostración es mucho más complicada).
La hipótesis de que la región interior a lacurva C esté contenida en Ω sí es esencial. En principio, para calcular
∮_C▒f(z)dz
Sólo necesitamos que f esté definida y sea continua en C, por lo que los valores de f en la región interior a C no...
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