Teorema de divergencia mate iii

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Teorema de la divergencia

Carla. Hernández C.I 19.438.654
Catherine. Petersen C.I 21.177.640
Tulio. Zerpa C.I 20.171.984

ABSTRACT: If we make an analysis of the green theorem, we can say that, we can do a relation between a solid region and the triple integral of the surface. The terms of reference of this theorem says that surface is closed, and these will be the side of this solid. Aclear example of this situation is the spheres and ellipsoids, or the combination of both, that if they will fill the bill of being a closed figure, and oriented with an unitary normal vector that point to the exterior, and their vectorial camp that hid function component have partial constant derivates in the region of this solid; then if factible do the divergences theorem, that without a doubthelp to find a relation in a lest arduous way than if we will the direct and traditional method or the integral of de solid.

1 INTRODUCCION

El teorema de la divergencia formula una relación entre una integral triple extendida a un sólido y una integral de superficie tomada por el contorno de ese sólido.

Si V es un sólido en E3 limitado por una superficie orientable S, si n es lanormal unitaria exterior a S y si F es un campo vectorial definido en V, entonces tenemos

V div F dx dy dz= S F.n dS (1)

Observación. Si expresamos F y n en función de sus componentes.

Fx,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+Rx,y,zk
y,
n=cos α i+cosβ j+cosγ j

La Ec. (1) puede entonces ponerse de la forma:

V∂P∂x +∂Q∂y+∂R∂z dx dy dz=..
..S (P cos∝+Qcosβ+RcosγdS(2)Demostración. Bastará establecer las tres ecuaciones

V ∂P∂x dx dy dz= S Pcos∝ dS

V ∂Q∂y dx dy dz= S Q cosβ dS

V ∂R∂z dx dy dz= S Rcosγ dS

Y sumar los resultados para obtener Ec. (2)

Comenzamos por la tercera de esas fórmulas y la demostramos para sólidos de tipo ciertamente especial. Supongamos que V es un conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen una relación de la formagx,y≤z≤fx,y para x,yen T

Siendo T una región conexa del plano xy, y f y g funciones continuas en T, con la condición g(x,y)≤f(x,y) para cada punto (x, y) en T. Geométricamente, esto significa que T es la proyección de V en el plano xy. Toda recta paralela al eje z que atraviese T corta al sólido V a lo largo de un segmento rectilíneo que une
la superficie z=gx,ya la z=f(x,y). La superficiefrontera S consta de un casquete superior S1. Dado en la forma explícita z=f(x,y); otro inferior S2 dado por z=g(x,y) y en algunos casos por una porción de cilindro S3 engendrado por una recta que se mueve a lo largo de la frontera de T manteniéndose paralela al eje z. La normal exterior a S tiene componente z no negativa en S1 y no positiva en S2 y es paralela al eje xy en S3. Los sólidos de estetipo se llaman << proyectables-xy>>. (En la figura 1 se muestra un ejemplo).

En él se incluyen todos los sólidos convexos (por ejemplo, esferas, elipsoides, cubos) y otros muchos que no son convexos (por ejemplo, el toro con el eje paralelo a z).

La idea de la demostración es sencillísima. Expresamos la integral triple como una doble extendida a la proyección T. Entoncesdemostramos que esta integral doble tiene el mismo valor que la integral de superficie citada en el enunciado. Comencemos con la fórmula

V ∂R∂z dx dy dz= T g(x,y)t(x,y)∂R∂zdzdx dy

La integral unidimensional respecto a z puede calcularse mediante el segundo teorema fundamental del cálculo, dándonos

V ∂R∂zdx dy dz=T Rx,y,f(x,y)-Rx,y,g(x,y)dx dy (3)

Para la integral de superficie podemosescribir

SRcosγ dS=S1Rcosγ dS+ ..

..S2Rcosγ dS+S3Rcosγ dS (4)

Sobre S3 la normal n es paralela al plano xy, de modo que cos γ = 0, y la integral sobre S3 es nula. Sobre la superficie S1 usamos la representación

rx,y=xi+yj+fx,yk,

Y sobre S2

rx,y=xi+yj+gx,yk,

En S1 la normal n tiene la misma dirección que el producto vectorial fundamental ∂r∂x* ∂rdy, así podemos escribir

S1...
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