Teorema de euclides

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Euclides
Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego(ca. 325 - ca. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría".
Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (actualmente Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:
1. Euclides fue un personajematemático histórico que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él.
2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandríaquienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.
Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, porejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo en relación a la teoría de la proporción y de Teeteto sobre los poliedros regulares.

El Teorema de Euclides

El teorema de Euclides prueba que hay un número infinito de números primos por reducción al absurdo (reductio ab absurdum):
Supongamos que hay un número finito de números primos. Consideramos el producto de todos ellos y le sumamos uno. Aldividir este nuevo número por cada uno de los primos obtenemos de resto uno. Por tanto debe de ser también primo o divisible por un primo que no aparecía en la lista inicial. Llegamos a una contradicción, y por tanto el número de primos ha de ser infinito.
Demostración de Euclides
Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra Elementos.1 Una adaptacióncomún de esta demostración original sigue así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, •••, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p1p2 ••• pn+1. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, porel contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2 ••• pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primosque no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.
Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, que se formulan a continuación:
Reformulación de Kummer
Supóngase que existe una cantidad finita de números primos p1 < p2 < p3 < ... < pr. Sea N = p1•p2•p3•...•pr > 2. El entero N-1, al ser producto de primos, tiene un divisor pi que también es divisor de N; asíque pi divide a N - (N-1) = 1. Esto es absurdo, por lo que tiene que haber infinitos números primos.

Demostración de Hermite
Sea n=1, 2, 3, ... y qn el factor primo más pequeño de n! + 1 para cada n. Como qn tiene que ser mayor que n, se deduce que esta sucesión contiene infinitos elementos distintos, y que por tanto existen infinitos números primos.

Demostración de Stieltjes
Supóngase queexiste un número finito de números primos. Sea Q el producto de todos los números primos, y sean m y n dos enteros positivos con Q = mn.
Se tiene que todo número primo p divide, o bien a m, o bien a n, pero no a ambos, es decir, m y n son primos entre sí. Entonces m+n no puede tener ningún divisor primo, pero como es estrictamente mayor que 1, debe ser un número primo que no divide a Q:...
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