Teorema de Gree

¿Quién fue George Green?


George Green (14 de julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matemático británico cuyo trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física. Entre sus obras más famosas se cita: "Un análisis de las aplicaciones del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo" publicado en 1828.
En este ensayo se introdujeron losconceptos de funciones de potencial utilizados comúnmente en la formulación matemática de la física. También aparecieron en este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes del teorema de Green.
Green fue un científico autodidacta. Vivió la mayor parte de su vida en Sneinton, Nottinghamshire, actualmente parte de la ciudad de Nottingham. Su padre, también llamado George, era unpanadero que poseía un molino de viento para preparar la harina. El joven George Green solo asistió de forma regular a la escuela durante un año entre los 8 y 9 años ayudando a su padre posteriormente.
En algún momento comenzó sus estudios de matemáticas. Al ser Nottingham un pueblo pobre en recursos intelectuales, no se ha podido dilucidar por parte de los historiadores de donde obtenía Green lainformación necesaria para su desarrollo en matemáticas. Solo se conoce una persona que haya vivido en Nottingham durante esa época, con los suficientes conocimientos matemáticos: John Toplis. Cuando Green publicó su ensayo en 1828, fue vendido como una suscripción a 51 personas, la mayoría de las cuales eran probablemente amigos y sin ninguna idea de sobre matemáticas.
En la actualidad, laBiblioteca George Green de la Universidad de Nottingham alberga gran parte de la colección de ciencias e ingeniería de la universidad. En 1986, el molino de los Green fue restaurado. Ahora funciona como museo y centro científico.


Teorema de Green



Antes de enunciar el teorema de Green convendría precisar qué entendemos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya que todacurva simple tiene dos posibles orientaciones, y que éstas son invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿cómo distinguir entre una y otra orientación? ¿Qué hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios procedimientos para conseguir esto. Quizá el más intuitivo sea el siguiente, que presenta el concepto de normalunitaria exterior a una curva.
Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en R2, parametrizada por
γ (t ) = (x (t ),y (t )), el vector normal unitario exterior a C se define por
.


Nótese que N es ortogonal al vector tangente o velocidad de la curva, V (t) = (x’ (t), y’ (t)). Consideremos estos vectores sumergidos en R3 (con coordenada z = 0). Diremos que Cestá orientada positivamente si el producto vectorial N ×V (que tiene la dirección del eje z en este caso) tiene coordenada z positiva (es decir, N ×V apunta hacia arriba) para cada t. Esta definición corresponde intuitivamente a decir que C se recorre en el sentido contrario al de las agujas del reloj, o bien que si recorremos C con la orientación positiva entonces N apunta hacia afuera de laregión interior a C, y que dicha región interior queda siempre a mano izquierda según se va recorriendo C.

Teorema:
Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:




Este tipo deteorema resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación así establecida entre la integral de línea sobre una...