-Teorema-de-maxwell-y-betti

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INTRODUCCION

En este capitulo aplicaremos los metodos energeticos basados en la ley de flexibilidad de las estructuras al analisis de armaduras,vigas y marcos estaticamente indeterminados.
El diseño de Estructuras implica un profundo conocimiento del comportamiento de las mismas, lo cual hace imprescindible el estudio de las cargas permanentes y accidentales, los materiales a utilizar ya quesus propiedades hacen a las condiciones de diseño, las necesidades para el funcionamiento que se le ponen al proyectista y, entre otras cosas el Análisis de la Estructura, entendiéndose por Análisis el cálculo de solicitaciones (Reacciones, Momentos flectores y torsores, Esfuerzos normales y de corte) y de deformaciones.

El Análisis de Estructuras es el principal objetivo del capítulo, con lasalvedad de que si sólo fuera hallar los valores numéricos de solicitaciones y deformaciones, no tendríamos más que explicar el uso de alguno de los métodos para el Cálculo de Estructuras que se presentan en las diferentes bibliografías.

TEOREMA DE MAXWELL Y LA LEY DE BETTI

1. TEOREMA DE MAXWELL SOBRE LOS TEOREMAS RECIPROCOS Y LA LEY DE BETTI

Supongamos que las cargas aplicadas alsólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto: U =W
El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por losdesplazamientos de sus puntos de aplicación (en las direcciones de las mismas, por supuesto).

FÓRMULAS DE CLAPEYRON:

TEOREMA DE MAXWELL DE LAS DEFLEXIONES RECÍPROCAS:

Maxwell formuló su teorema de las deflexiones recíprocas en 1864, pero por no demostrarle aplicación práctica sólo vino a ser apreciado en 1886, cuando Muller- Breslau presentó su versión del método Maxwell- Mohr.

Deformacionesdebido a dos tipos de cargas:
Considerando el pórtico de la figura, al aplicarle la fuerza horizontal en A la estructura se deforma de la manera indicada en (a), donde se han utilizado coeficientes de influencia definidos así:
ij = desplazamiento en i, en la dirección de la carga aplicada en i, producido por una carga unitaria aplicada en j;
Y el principio de superposición.
Similarmente, sise aplica una carga vertical PB en B, se obtiene la deformada de (b). Si ambas cargas se aplican gradual y simultáneamente, el trabajo total externo producido por ellas será:
w=12PA PAAA +PBAB+12PB PABA+ PBBB
Si sólo se aplica PA, se efectuará un trabajo:
WI=12PA PAAA
Y si después de que PA alcance su valor final se aplicará gradualmente PB, habrá un trabajo adicional:
WII=PA PBAB +12PB PBBBPero por el principio de superposición el trabajo realizado es independiente de la secuencia. De ahí que:
W=WI+WII
Y reemplazando los valores respectivos dados arriba resulta:
12PB PABA =12PA PBAB
BA=AB
Y generalizando:
ij=ji
Como i y j son dos puntos cualesquiera, es teorema de Maxwell de las deflexiones recíprocas se puede enunciar como sigue:
Cualquier componente lineal de deflexiónde un punto i que resulte de la aplicación de una fuerza unitaria en cualquier otro punto j, es igual en magnitud a la componente lineal de la deflexión de j (en la dirección de la fuerza aplicada inicialmente en j), que resulta de la aplicación de una fuerza unitaria en i en la misma dirección de la componente original de la deflexión en i.

TEOREMA RECÍPROCO DE MAXWELL Y BETTI

Dos sistemasde carga y sus componentes correspondientes de deflexión
Por consiguiente las, componentes de deflexión que resultan al aplicar el sistema (I) de cargas son:
A=PA´AA+MB´AB+PC´AC
B=PABA+MB ´BB+PCBC
C=PACA+MB ´CB+PCCC
En donde de nuevo las primas indican giros producidos por fuerzas de deflexiones debidas a momentos.
Las componentes de deflexión causadas por el sistema (II) son:

A=MA...
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