Teorema de pick

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Taller de Talento Matem´tico a
http://www.unizar.es/ttm ttm@unizar.es

El Teorema de Pick
(12 de enero de 2007) Alberto Elduque ´ Departamento de Matematicas. Universidad de Zaragoza. http://www.unizar.es/matematicas/algebra/elduque

Esta sesi´n est´ dedicada a encontrar y demostrar un resultado muy o a curioso, que permite calcular f´cilmente las ´reas de los pol´ a a ıgonos cuyos v´rticesest´n en los nodos de una cuadr´ e a ıcula. 1. El Teorema de Pick

Nuestro objetivo es encontrar una f´rmula, originalmente descubierta o por Pick en 18991, para calcular el ´rea de pol´ a ıgonos simples (esto es, sus lados no se cortan entre s´ cuyos v´rtices son nodos de una cuadr´ ı) e ıcula, como ocurre en la siguiente figura:

El ´rea, se obtiene en funci´n de los nodos de la cuadr´ a oıcula que est´n en el per´ a ımetro del pol´ ıgono y de los que est´n en el interior del a
Georg Alexander Pick naci´ en Viena en 1859 y muri´ en 1943 en un campo o o de contentraci´n nazi. Public´ su resultado en un art´ o o ıculo titulado Geometrisches zur Zahlenlehre, en la revista Sitzungber. Lotos, Naturwissen Zeitschrift 19 (1899), p´ginas 311-319, Praga. a
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´ Taller de TalentoMatematico

pol´ ıgono:

La unidad de medida del ´rea que tomaremos es el ´rea de los cuadraa a dos que forman la cuadr´ ıcula. Denotaremos por I el n´mero de nodos u interiores, y por B el n´mero de nodos del per´ u ımetro. En el ejemplo anterior I = 14 y B = 6. Pasos a seguir para descubrir la f´rmula o Dibuja varios pol´ ıgonos sencillos y calcula sus ´reas y sus n´mea u ros I y P :

Sisupieras que la f´rmula es del tipo o

donde a, b y c son constantes, ¿cu´l ser´ el valor de estas consa ıa tantes2? ¡No pases de p´gina hasta tener una conjetura razonable sobre a cu´l es la f´rmula de Pick! a o
uno de los pol´ ıgonos con los que has trabajado te da una ecuaci´n en las o variables a, b y c.
2Cada

A = aI + bB + c,

El Teorema de Pick

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Teorema de Pick (1899): El´rea de todo pol´ a ıgono simple cuyos v´rtices son nodos de la cuadr´ e ıcula es

1 A=I + B−1 2

2.

´ Demostracion del Teorema de Pick

El siguiente objetivo es demostrar que esta f´rmula es v´lida para o a cualquier pol´ ıgono simple cuyos v´rtices est´n en la cuadr´ e a ıcula, y no s´lo para los ejemplos que hemos utilizado. o Para ello, puedes proceder como sigue: Primer paso: Prueba quesi la f´rmula es v´lida para dos pol´ o a ıgonos con interiores disjuntos, pero que est´n unidos por una arista a com´n, entonces tambi´n es v´lida para el pol´ u e a ıgono formado por la uni´n de los dos anteriores. o

p2 p1

Segundo paso: Prueba que la f´rmula es v´lida para rect´ngulos con o a a lados horizontales y verticales.

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´ Taller de Talento Matematico

Tercer paso: Pruebaque la f´rmula es v´lida para tri´ngulos. o a a

Puesto que todo pol´ ıgono se puede poner como uni´n de tri´ngulos o a (unidos por aristas), estos pasos garantizan la validez de la f´rmula o para cualquier pol´ ıgono simple con v´rtices en la cuadr´ e ıcula.

En la secci´n siguiente se explica c´mo probar cada uno de estos o o pasos.

Como aplicaci´n del Teorema de Pick, intenta hacer elsiguiente ejero cicio: Ejercicio: Muestra que no existe ning´n tri´ngulo equil´tero cuyos u a a v´rtices sean nodos de la cuadr´ e ıcula.

3.

Soluciones

Primer paso: Sean p1 y p2 dos pol´ ıgonos como en la figura, y sea p el pol´ ıgono obtenido uni´ndolos. Llamaremos n´mero de Pick de p al e u n´mero u 1 P = I + B − 1, 2 donde I y B son, respectivamente, el n´mero de nodos interiores y en uel per´ ımetro de p. An´logamente denotamos por P1 el n´mero de Pick a u de p1 , siendo I1 y B1 los n´meros de nodos interiores y en el per´ u ımetro de p1 , y por P2 , I2 y B2 los de p2 .

El Teorema de Pick

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p2 p1

Sea E el n´mero de nodos de la cuadr´ u ıcula en la arista com´n. Enu tonces:

B = (B1 − E) + (B2 − E) + 2

(el 2 corresponde a los v´rtices de la arista com´n) e u...
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